7. Решите уравнение 1 - sinx = 2cos²x

Решение:

1. Перепишем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество \( \cos^2x = 1 - \sin^2x \).
2. \( 1 - \sin x = 2(1 - \sin^2x) \)
3. \( 1 - \sin x = 2 - 2\sin^2x \)
4. Перенесем все члены уравнения в одну сторону: \( 2\sin^2x - \sin x + 1 - 2 = 0 \)
5. \( 2\sin^2x - \sin x - 1 = 0 \)
6. Введем замену: пусть \( t = \sin x \). Тогда уравнение примет вид: \( 2t^2 - t - 1 = 0 \)
7. Решим квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \)
8. \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \)
9. \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)
10. Теперь вернемся к замене \( t = \sin x \):
11. Случай 1: \( \sin x = 1 \)
12. Это частный случай. Решением является \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.
13. Случай 2: \( \sin x = -\frac{1}{2} \)
14. Решениями этого уравнения являются \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \), \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \), где \( n, k \) — любые целые числа.