7). Решите графически 2x² + 3x - 2 = 0

Решение:

Чтобы решить это квадратное уравнение \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \) графически, мы можем построить график параболы \( y = 2x^2 + 3x - 2 \) и найти точки, где она пересекает ось абсцисс (где \( y = 0 \)).

Построение графика параболы \( y = 2x^2 + 3x - 2 \):

1. Направление ветвей: Коэффициент при \( x^2 \) равен \( 2 \), что больше нуля, значит, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы: Координата \( x \) вершины находится по формуле \( x_в = -b / (2a) \).
   \( x_в = -3 / (2 · 2) = -3 / 4 = -0.75 \).
   Найдем координату \( y \) вершины, подставив \( x_в \) в уравнение:
   \( y_в = 2(-0.75)^2 + 3(-0.75) - 2 = 2(0.5625) - 2.25 - 2 = 1.125 - 2.25 - 2 = -3.125 \).
   Вершина параболы находится в точке \( (-0.75, -3.125) \).
3. Пересечение с осью Y:
   При \( x = 0 \), \( y = 2(0)^2 + 3(0) - 2 = -2 \).
   Парабола пересекает ось Y в точке \( (0, -2) \).
4. Пересечение с осью X (корни уравнения):
   Чтобы найти точки пересечения с осью X, нужно решить уравнение \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \).
   Можно найти дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 \).
   Корни уравнения:
   \( x_1 = (-b + √ D) / (2a) = (-3 + √ 25) / (2 · 2) = (-3 + 5) / 4 = 2 / 4 = 0.5 \).
   \( x_2 = (-b - √ D) / (2a) = (-3 - √ 25) / (2 · 2) = (-3 - 5) / 4 = -8 / 4 = -2 \>.

Графическое представление:

Мы построили параболу с вершиной в \( (-0.75, -3.125) \), ветвями вверх, пересекающую ось Y в \( (0, -2) \). Эта парабола пересекает ось X в двух точках: \( x = -2 \) и \( x = 0.5 \). Эти точки и являются решениями уравнения.

Ответ: x₁ = -2, x₂ = 0.5.