7. Решить уравнение f'(x) = 0 , если 2) f(x) = -⅔x³ + x² + 12

Решение:

Найдем производную функции \( f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 12 \).

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(-\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 12) = -\frac{2}{3} \cdot 3x^2 + 2x = -2x^2 + 2x \)

Приравняем производную к нулю:

\( -2x^2 + 2x = 0 \)

Вынесем общий множитель \( -2x \):

\( -2x(x - 1) = 0 \)

Это уравнение имеет два решения:

\( -2x = 0 x = 0 \)

или

\( x - 1 = 0 x = 1 \)

Ответ: \( x = 0, x = 1 \).