№ 7. Разложите на множители: a) 3 x³ y³ +3 x²y²-6x y²; б) a²+2a-2b-b².

Решение:

а) Разложение на множители выражения \( 3x^3y^3 + 3x^2y^2 - 6xy^2 \):

Вынесем общий множитель за скобки.

1. Наибольший общий делитель числовых коэффициентов 3, 3, 6 равен 3.
2. Наименьшая степень \( x \) равна \( x^1 \) (то есть \( x \)).
3. Наименьшая степень \( y \) равна \( y^2 \).
4. Общий множитель: \( 3xy^2 \).
5. Вынесем его за скобки: \( 3xy^2( \frac{3x^3y^3}{3xy^2} + \frac{3x^2y^2}{3xy^2} - \frac{6xy^2}{3xy^2} ) \)
6. \( 3xy^2( x^{3-1}y^{3-2} + x^{2-1}y^{2-2} - 2 ) \)
7. \( 3xy^2( x^2y^1 + x^1y^0 - 2 ) \)
8. \( 3xy^2(x^2y + x - 2) \).

б) Разложение на множители выражения \( a^2+2a-2b-b^2 \):

Перегруппируем слагаемые так, чтобы можно было применить формулы сокращённого умножения.

1. Сгруппируем члены с \( a \) и члены с \( b \) отдельно: \( (a^2 + 2a) - (b^2 + 2b) \).
2. Выделим полные квадраты: \( (a^2 + 2a + 1 - 1) - (b^2 + 2b + 1 - 1) \)
3. \( ((a+1)^2 - 1) - ((b+1)^2 - 1) \)
4. \( (a+1)^2 - 1 - (b+1)^2 + 1 \)
5. \( (a+1)^2 - (b+1)^2 \)
6. Применим формулу разности квадратов \( A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) \), где \( A = (a+1) \) и \( B = (b+1) \).
7. \( ((a+1) - (b+1))((a+1) + (b+1)) \)
8. \( (a+1-b-1)(a+1+b+1) \)
9. \( (a-b)(a+b+2) \).

Ответ: а) \( 3xy^2(x^2y + x - 2) \) б) \( (a-b)(a+b+2) \)