7. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида: a) (x+1)(x+2)(x+3); б) (a−b)(a+b)(2a - b).

Решение:

Задание 7.

а) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Сначала перемножим первые два множителя:

\( (x+1)(x+2) = x(x+2) + 1(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2 \)

Теперь умножим полученное выражение на третий множитель:

\( (x^2 + 3x + 2)(x+3) \)

\( = x^2(x+3) + 3x(x+3) + 2(x+3) \)

\( = (x^3 + 3x^2) + (3x^2 + 9x) + (2x + 6) \)

\( = x^3 + 3x^2 + 3x^2 + 9x + 2x + 6 \)

\( = x^3 + (3x^2 + 3x^2) + (9x + 2x) + 6 \)

\( = x^3 + 6x^2 + 11x + 6 \)

б) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Сначала перемножим первые два множителя, используя формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).

\( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \)

Теперь умножим полученное выражение на третий множитель:

\( (a^2 - b^2)(2a - b) \)

\( = a^2(2a - b) - b^2(2a - b) \)

\( = (2a^3 - a^2b) - (2ab^2 - b^3) \)

\( = 2a^3 - a^2b - 2ab^2 + b^3 \)

Ответ: а) $$x^3 + 6x^2 + 11x + 6$$; б) $$2a^3 - a^2b - 2ab^2 + b^3$$.