7. Постройте график функции y = x² + 8x + 9. Найдите промежутки, на которых функция возрастает.

Решение:

Данная функция является квадратичной: \( y = x^2 + 8x + 9 \). График этой функции — парабола.

1. Найдём вершину параболы:
   Координата x вершины: \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4 \).
   Координата y вершины: \( y_в = (-4)^2 + 8(-4) + 9 = 16 - 32 + 9 = -7 \).
   Вершина параболы находится в точке \( (-4, -7) \).
2. Определим направление ветвей параболы:
   Коэффициент при \( x^2 \) равен \( a=1 \), что больше нуля, значит, ветви параболы направлены вверх.
3. Найдём точки пересечения с осью x (нули функции):
   Решим уравнение \( x^2 + 8x + 9 = 0 \).
   Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 64 - 36 = 28 \).
   Корни: \( x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -4 \pm \sqrt{7} \).
   Примерно \( \sqrt{7} \approx 2.65 \).
   Тогда \( x_1 \approx -4 - 2.65 = -6.65 \) и \( x_2 \approx -4 + 2.65 = -1.35 \).
4. Найдём точку пересечения с осью y:
   При \( x = 0 \), \( y = 0^2 + 8 \cdot 0 + 9 = 9 \). Точка \( (0, 9) \).
5. Построим график:
   Отметим вершину \( (-4, -7) \), точки пересечения с осью x \( (\approx -6.65, 0) \) и \( (\approx -1.35, 0) \), точку пересечения с осью y \( (0, 9) \). Учтём симметрию параболы относительно вертикальной оси, проходящей через вершину.

Промежутки возрастания:

Так как ветви параболы направлены вверх, функция возрастает справа от вершины. Ось симметрии параболы находится в \( x = -4 \).

Ответ: Функция возрастает на промежутке \( [-4, \infty) \).