7. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, в основании которого прямоугольник со сторонами 9 см и 6 см, равна 408 см². Найдите диагонали параллелепипеда.

Решение:

Обозначим стороны основания прямоугольного параллелепипеда как \( a = 9 \) см и \( b = 6 \) см. Высоту параллелепипеда обозначим как \( c \).

Площадь полной поверхности \( S_{полн} \) прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

\( S_{полн} = 2(ab + bc + ac) \)

Нам дано, что \( S_{полн} = 408 \) см².

Подставим известные значения:

\( 408 = 2(9 ⁠ 6 + 6c + 9c) \)

\( 408 = 2(54 + 15c) \)

Разделим обе части на 2:

\( 204 = 54 + 15c \)

Вычтем 54 из обеих частей:

\( 204 - 54 = 15c \)

\( 150 = 15c \)

Найдем высоту \( c \):

\( c = \frac{150}{15} = 10 \) см.

Теперь у нас есть все три измерения параллелепипеда: \( a = 9 \) см, \( b = 6 \) см, \( c = 10 \) см.

Диагональ \( d \) прямоугольного параллелепипеда находится по формуле:

\( d = √(a^2 + b^2 + c^2) \)

Подставим найденные значения:

\( d = √(9^2 + 6^2 + 10^2) \)

\( d = √(81 + 36 + 100) \)

\( d = √(217) \) см.

Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Ответ: Диагонали параллелепипеда равны \( √{217} \) см.