7. Найти член разложения, не содержащий х: (x + 1/2)^10.

Решение:

Воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения \( (a+b)^n \):

\[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \]

В нашем случае \( a = x \), \( b = \frac{1}{2} \), \( n = 10 \).

Общий член разложения имеет вид:

\[ T_{k+1} = C_{10}^k x^{10-k} \left(\frac{1}{2}\right)^k \]

Чтобы найти член, не содержащий \( x \), нужно, чтобы степень \( x \) была равна 0. То есть, \( 10-k = 0 \), откуда \( k=10 \).

Подставим \( k=10 \) в формулу общего члена:

\[ T_{10+1} = T_{11} = C_{10}^{10} x^{10-10} \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = 1 \cdot x^0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024} \]

\( C_{10}^{10} = \frac{10!}{10!(10-10)!} = \frac{10!}{10!0!} = 1 \).

\( \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{1^{10}}{2^{10}} = \frac{1}{1024} \).

Ответ: \(\frac{1}{1024}\)