7) Найдите значение выражения \( \frac{2(4a)^3}{a^8} \) при \( a = √20 \).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упростим выражение, используя свойства степеней \( (x^m)^n = x^{m · n} \) и \( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \):
   \( \frac{2(4a)^3}{a^8} = \frac{2 · 4^3 · a^3}{a^8} = \frac{2 · 64 · a^3}{a^8} = \frac{128 · a^3}{a^8} = 128 · a^{3-8} = 128 · a^{-5} = \frac{128}{a^5} \)
2. Шаг 2: Подставим значение \( a = √20 \) в упрощенное выражение. Учтем, что \( a^5 = (√20)^5 = (20^{1/2})^5 = 20^{5/2} \) и \( 20^{5/2} = (20^5)^{1/2} = √(20^5) \).
   \( a^2 = (√20)^2 = 20 \)
   \( a^5 = a^2 · a^2 · a = 20 · 20 · √20 = 400√20 \)
3. Шаг 3: Вычислим значение выражения:
   \( \frac{128}{a^5} = \frac{128}{400√20} \)
   Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 16:
   \( \frac{128 ÷ 16}{400÷ 16 √20} = \frac{8}{25√20} \)
   Умножим числитель и знаменатель на \( √20 \) для избавления от иррациональности в знаменателе:
   \( \frac{8√20}{25√20 · √20} = \frac{8√20}{25 · 20} = \frac{8√20}{500} \)
   Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
   \( \frac{8√20 ÷ 4}{500 ÷ 4} = \frac{2√20}{125} \)

Ответ: \( \frac{2√20}{125} \)