7. Найдите tg(α + 5π/2), если tgα = 0,4.

Решение:

Воспользуемся свойствами тригонометрических функций. Период тангенса равен \( \pi \).

\( \alpha + \frac{5\pi}{2} = \alpha + 2\pi + \frac{\pi}{2} \)

Так как \( \tan(x + n\pi) = \tan(x) \) для любого целого \( n \), то:

\[ \operatorname{tg}\left(\alpha + \frac{5\pi}{2}\right) = \operatorname{tg}\left(\alpha + 2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) \]

Используя формулу приведения \( \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\operatorname{ctg}(x) \), получаем:

\[ \operatorname{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\operatorname{ctg}(\alpha) \]

Мы знаем, что \( \operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{1}{\operatorname{tg}(\alpha)} \).

Подставляем данное значение \( \operatorname{tg}(\alpha) = 0,4 \):

\[ \operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{1}{0,4} = \frac{1}{\frac{4}{10}} = \frac{10}{4} = 2,5 \]

Таким образом:

\[ \operatorname{tg}\left(\alpha + \frac{5\pi}{2}\right) = -\operatorname{ctg}(\alpha) = -2,5 \]

Ответ: -2,5