7. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = x³+2x²-4х+4 на отрезке [-2; 0]

Решение:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке, сначала найдём производную функции и критические точки.

1. Найдём производную функции \( y = x^3 + 2x^2 - 4x + 4 \):
   \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x^2 - 4x + 4) = 3x^2 + 4x - 4 \]
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \[ 3x^2 + 4x - 4 = 0 \]
3. Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \)
   \[ D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 \]
   \[ \sqrt{D} = \sqrt{64} = 8 \]
4. Найдём корни:
   \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
   \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2 \]
5. Критические точки: \( x = \frac{2}{3} \) и \( x = -2 \).
6. Теперь проверим, какие из этих точек попадают в заданный отрезок \( [-2; 0] \).
   Точка \( x = -2 \) принадлежит отрезку.
   Точка \( x = \frac{2}{3} \) не принадлежит отрезку, так как \( \frac{2}{3} > 0 \).
7. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку:
• При \( x = -2 \):
  \[ y(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 4(-2) + 4 = -8 + 2(4) + 8 + 4 = -8 + 8 + 8 + 4 = 12 \]
• При \( x = 0 \):
  \[ y(0) = (0)^3 + 2(0)^2 - 4(0) + 4 = 0 + 0 - 0 + 4 = 4 \]
8. Сравним полученные значения: 12 и 4.

Наибольшее значение функции равно 12, а наименьшее — 4.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 12, наименьшее — 4.