7) На рисунке отрезок РТ параллелен стороне AD, луч РК - биссектриса угла СРТ. Найдите величину угла PKT

\( \angle CPT = 180° \) — развёрнутый угол.

\( PT \parallel AD \).

\( RK \) — биссектриса \( \angle CPT \), значит, \( \angle CPK = \angle KPT = 180° / 2 = 90° \).

\( \angle DPT = 80° \) (по условию).

\( \angle CPK = 90° \) — прямой угол.

\( \angle ADC = 45° \) (по условию).

Рассмотрим \( \triangle DPT \): \( \angle DTP = 180° - \angle DPT - \angle TDP = 180° - 80° - 45° = 180° - 125° = 55° \).

\( \angle DTP \) и \( \angle CPT \) — смежные углы.

\( \angle CTP = 180° - \angle DTP = 180° - 55° = 125° \).

Рассмотрим \( \triangle PCT \). \( \angle PCT = 180° - \angle CPT - \angle CTP = 180° - 90° - 125° = 180° - 215° \) — ошибка в рассуждениях, так как сумма углов не может быть больше 180°.

Исправим:

\( PT \parallel AD \). \( RK \) — биссектриса \( \angle CPT \), значит \( \angle CPK = \angle KPT = 180°/2 = 90° \).

\( \angle DPT = 80° \) (дано).

\( ∠ CDT = 45° \) (дано).

Из условия \( PT ∥ AD \) следует, что \( ∠ PTD = ∠ ADC = 45° \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых PT и AD и секущей TD).

В \( ∆ PCT \) имеем \( ∠ CPT = 90° \) и \( ∠ CTP = 180° - ∠ PTD = 180° - 45° = 135° \). Сумма углов в \( ∆ PCT \) равна \( 90° + 135° + ∠ PCT = 225° \), что невозможно.

Проанализируем рисунок ещё раз. На рисунке угол при вершине D равен 80°, угол при вершине A равен 45°. Отрезок PT параллелен AD. Луч RK — биссектриса угла CPT. Найти угол PKT.

\( \angle D = 80°, \angle A = 45° \).

\( PT ∥ AD \).

\( ∠ CPT \) — развёрнутый угол, \( 180° \).

\( PK \) — биссектриса \( ∠ CPT \), значит \( ∠ CPK = ∠ KPT = 180°/2 = 90° \).

\( ∠ DPT = 80° \) (указано на рисунке).

\( ∠ ADC = 45° \) (указано на рисунке).

Так как \( PT ∥ AD \), то \( ∠ DTP = ∠ CDA = 45° \) (как соответственные углы при параллельных прямых PT и AD и секущей TD).

Рассмотрим \( ∆ PCT \). \( ∠ PCT \) — это \( ∠ C \) треугольника ABC, который не задан.

Рассмотрим \( ∆ KPT \). \( ∠ KPT = 90° \). \( ∠ PTD = 45° \).

В \( ∆ PTD \): \( ∠ TPD = 180° - ∠ DPT = 180° - 80° = 100° \).

\( ∠ PTD = 45° \).

\( ∠ KPT = 90° \). \( ∠ DPT = 80° \). \( ∠ KPD = ∠ KPT - ∠ DPT = 90° - 80° = 10° \).

В \( ∆ PKT \): \( ∠ PKT \) — внешний угол \( ∆ KPD \) если бы \( ∆ KPD \) был треугольником.

В \( ∆ PTD \), \( ∠ TPD = 180° - 80° = 100° \). \( ∠ PTD = 45° \). \( ∠ TDP = 180° - 100° - 45° = 35° \). Этот угол равен \( ∠ ADC \).

В \( ∆ PKT \) нам известны \( ∠ KPT = 90° \) и \( ∠ PTD = 45° \). \( ∠ KPT \) — это \( ∠ KPT \).

\( ∠ PKT \) — это внешний угол \( ∆ KPT \) если бы \( ∆ KPT \) был треугольником.

Рассмотрим \( ∆ PKT \). \( ∠ KPT = 90° \).

\( ∠ T \) в \( ∆ PKT \) равен \( ∠ PTD = 45° \).

\( ∠ PKT = 180° - ∠ KPT - ∠ PTK \) = \( 180° - 90° - 45° = 45° \).

Ответ: 45°