7. На рисунках изображены графики функций и касательные, проведённые к ним в точках с абсциссой x₀. Установите соответствие между графиками функций и значениями производной этих функций в точке x₀.

Решение:

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox.

• График А: Касательная наклонена под отрицательным углом (больше 90° и меньше 180°). Значит, производная отрицательна.
• График Б: Касательная наклонена под положительным углом (меньше 90°). Значит, производная положительна.
• График В: Касательная является горизонтальной линией, то есть параллельна оси Ox. Угол наклона равен 0°, значит, производная равна 0.
• График Г: Касательная наклонена под положительным острым углом. Значит, производная положительна.

Если предположить, что на рисунках обозначены разные значения производной (например, положительное, отрицательное, ноль, и ещё одно положительное, но большее), то:

• График с отрицательной производной (А).
• График с нулевой производной (В).
• Два графика с положительной производной (Б и Г).

Так как на графиках указаны точки \( x_0 \) и \( 1 \), и на графиках Б и Г показаны различные углы наклона касательных, то можно предположить, что у графика Б производная меньше, чем у графика Г (угол наклона меньше).

Предполагаемое соответствие:

• График А — отрицательная производная.
• График Б — положительная производная, меньший угол наклона.
• График В — нулевая производная.
• График Г — положительная производная, больший угол наклона.

Ответ: А — отрицательная, Б — положительная (меньше), В — ноль, Г — положительная (больше).