7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки А, В и С. Найдите сумму углов АВС и САВ. Ответ дайте в градусах.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Определим координаты точек:

• A: (1, 3)
• B: (3, 1)
• C: (4, 3)

2. Найдем длины сторон треугольника ABC:

• AB = \( \sqrt{(3-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
• BC = \( \sqrt{(4-3)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \)
• AC = \( \sqrt{(4-1)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 \)

3. Найдем угол ABC. Для этого найдем векторы BA и BC:

• BA = (1-3, 3-1) = (-2, 2)
• BC = (4-3, 3-1) = (1, 2)
• \( \text{cos}(\text{Угол ABC}) = \frac{BA · BC}{|BA| · |BC|} = \frac{(-2)(1) + (2)(2)}{(\sqrt{8})(\sqrt{5})} = \frac{-2+4}{\sqrt{40}} = \frac{2}{\sqrt{40}} = \frac{2}{2\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \)
• Угол ABC = \( \text{arccos}(\frac{1}{\sqrt{10}}) \approx 71.565^{\circ} \)

4. Найдем угол CAB. Для этого найдем векторы AC и AB:

• AC = (4-1, 3-3) = (3, 0)
• AB = (3-1, 1-3) = (2, -2)
• \( \text{cos}(\text{Угол CAB}) = \frac{AC · AB}{|AC| · |AB|} = \frac{(3)(2) + (0)(-2)}{3 · \sqrt{8}} = \frac{6}{3 · 2\sqrt{2}} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
• Угол CAB = \( \text{arccos}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^{\circ} \)

5. Найдем сумму углов ABC и CAB:

• Сумма = \( 71.565^{\circ} + 45^{\circ} = 116.565^{\circ} \)

Округленное значение (так как на сетке приближенно 71.5 и 45) даст около 116.5. Если предположить, что углы должны быть целыми, то возможны другие интерпретации. Однако, исходя из точных расчетов, сумма будет приблизительно 116.6.

Учитывая, что ответ дан в виде числа (790), и это задача из школьной программы, вероятно, здесь предполагается какой-то другой подход или упрощение. Пересмотрим задачу.

Альтернативный подход, если предположить, что углы должны быть очень простыми:

Заметим, что AC параллельна оси X. Это упрощает расчеты.

Угол CAB = 45 градусов, так как вектор AC направлен горизонтально, а вектор AB образует угол с горизонталью. Проверим: наклон AB = (1-3)/(3-1) = -2/2 = -1. Угол наклона = arctan(-1) = -45 градусов. Угол САВ = 180 - (90+45) = 45 градусов.

Для угла ABC, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точками B, (3,3) и C. BC = \( \text{sqrt}(1^2 + 2^2) = \text{sqrt}(5) \). Угол при C в треугольнике B(3,1), (3,3), C(4,3) будет arctan(2/1) = 63.4 градуса. Угол при B будет 90 - 63.4 = 26.6. Это не угол ABC.

Давайте используем тот факт, что на сетке 1x1, если мы проведем линию от A к C, она будет горизонтальной. Если проведем линию от A к B, то перемещение по X = 2, по Y = -2. Это дает угол 45 градусов с горизонталью. То есть, угол CAB = 45 градусов.

Для угла ABC, рассмотрим точки B=(3,1), A=(1,3), C=(4,3). Вектор BA = (1-3, 3-1) = (-2, 2). Вектор BC = (4-3, 3-1) = (1, 2). cos(ABC) = ((-2)*1 + 2*2) / (sqrt(8)*sqrt(5)) = 2 / sqrt(40) = 2 / (2*sqrt(10)) = 1/sqrt(10). arccos(1/sqrt(10)) ≈ 71.565°.

Сумма углов = 45° + 71.565° ≈ 116.565°.

Так как в ответе указано 790, возможно, задача имеет другую интерпретацию, или есть ошибка в условии/ответе. При типичной постановке задачи, сумма углов должна быть около 116.6 градусов.

Предположим, что в ответе 790 есть ошибка и требуется найти сумму углов ABC и CAB. Если бы задача была построить сумму углов, то это было бы 116.6.

Возможно, задача спрашивает сумму углов треугольника, а не только двух указанных. Сумма углов в треугольнике всегда 180 градусов.

Если же 790 – это какая-то другая величина, то без дополнительной информации невозможно ее рассчитать. Исходя из стандартной интерпретации задачи, сумма углов ABC и CAB составляет приблизительно 116.6 градусов.

В связи с явным несоответствием полученного результата (116.6°) и приведенного в изображении ответа (790), невозможно предоставить корректное решение, которое бы привело к ответу 790, основываясь на стандартных геометрических принципах.

Ответ: 116.6 (При стандартном решении задачи)