7. Команда смешариков отправилась к Дмитрию Алексеевичу на занятие по теме «Графы». Известно, что в этой команде каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка — с четырьмя мальчиками. Ровно 16 из этих смешариков участвовали в математической Абаке. В классе вся команда уместилась за 13 парт, за каждой партой сидит 1 или 2 смешарика. Сколько смешариков может быть в команде? Найдите все варианты.

Решение:

Обозначим количество мальчиков в команде как \( m \), а количество девочек как \( d \).

По условию, каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка — с четырьмя мальчиками. Это означает, что общее количество дружеских связей между мальчиками и девочками можно посчитать двумя способами:

1. Со стороны мальчиков: \( m \) мальчиков, каждый дружит с 3 девочками, всего \( 3m \) связей.

2. Со стороны девочек: \( d \) девочек, каждая дружит с 4 мальчиками, всего \( 4d \) связей.

Таким образом, получаем уравнение: \( 3m = 4d \).

Из этого уравнения следует, что \( m \) должно быть кратно 4, а \( d \) — кратно 3. То есть, \( m = 4k \) и \( d = 3k \) для некоторого натурального числа \( k \).

Общее количество смешариков в команде равно \( N = m + d = 4k + 3k = 7k \).

Также известно, что в математической Абаке участвовали 16 смешариков. Это значит, что общее количество смешариков \( N \) должно быть больше или равно 16.

\( 7k ≥ 16 \)

\( k ≥ \frac{16}{7} ≥ 2.28... \)

Так как \( k \) — натуральное число, то \( k ≥ 3 \).

В классе вся команда уместилась за 13 парт, за каждой партой сидит 1 или 2 смешарика. Обозначим количество парт, занятых одним смешариком, как \( p_1 \), а количество парт, занятых двумя смешариками, как \( p_2 \).

Тогда общее количество парт: \( p_1 + p_2 = 13 \).

Общее количество смешариков: \( N = 1 · p_1 + 2 · p_2 \).

Подставим \( p_1 = 13 - p_2 \) в уравнение для \( N \):

\( N = (13 - p_2) + 2p_2 = 13 + p_2 \).

Так как \( p_2 \) — количество парт, занятых двумя смешариками, то \( 0 ≤ p_2 ≤ 13 \).

Отсюда следует, что общее количество смешариков \( N \) может быть в диапазоне от 13 (когда \( p_2 = 0 \)) до 26 (когда \( p_2 = 13 \)).

\( 13 ≤ N ≤ 26 \).

Теперь объединим все условия:

1. \( N = 7k \), где \( k ≥ 3 \).
2. \( 16 ≤ N ≤ 26 \).

Найдем значения \( N \), которые удовлетворяют обоим условиям:

• Если \( k = 3 \): \( N = 7 · 3 = 21 \). Это значение удовлетворяет условию \( 16 ≤ 21 ≤ 26 \).
• Если \( k = 4 \): \( N = 7 · 4 = 28 \). Это значение не удовлетворяет условию \( N ≤ 26 \).

Следовательно, единственно возможное значение для общего числа смешариков в команде — 21.

Проверим, возможно ли такое количество смешариков с точки зрения парт:

Если \( N = 21 \), то \( 21 = 13 + p_2 \) \( ⇒ p_2 = 8 \).

\( p_1 = 13 - p_2 = 13 - 8 = 5 \).

Таким образом, 5 парт заняты одним смешариком, и 8 парт заняты двумя смешариками. Общее количество смешариков: \( 5 · 1 + 8 · 2 = 5 + 16 = 21 \).

Количество мальчиков: \( m = 4k = 4 · 3 = 12 \).

Количество девочек: \( d = 3k = 3 · 3 = 9 \).

Проверка дружбы: \( 3m = 3 · 12 = 36 \). \( 4d = 4 · 9 = 36 \). Условие выполнено.

16 смешариков участвовали в Абаке. Это возможно, так как общее число смешариков 21, что больше 16.

Ответ: 21 смешарик.