7 класс 1. Определение равнобедренного треугольника. Теорема о свойствах углов при его основании. 2. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника. 3. На рисунке ∠DBC = ∠CAD, BO = AO. Докажите, что ∠C = ∠D. Найдите АС, если BD = 12 см.

Решение:

3. Доказательство и нахождение АС:

1. Доказательство ∠C = ∠D:
   • Рассмотрим треугольники \( ΔAOD \) и \( ΔBOC \).
   • По условию \( AO = BO \).
   • Вертикальные углы \( ΔAOD \) и \( ΔBOC \) равны: \( AOD = BOC \).
   • Углы \( DBC = CAD \) по условию.
   • Рассмотрим \( ΔABD \) и \( ΔBAC \).
   • \( AB \) — общая сторона.
   • \( DBC = CAD \) (дано).
   • \( AO = BO \) (дано).
   • Из \( AO = BO \) следует, что \( ΔAOB \) — равнобедренный, значит \( OAB = OBA \).
   • \( CAD \) состоит из \( CAO + OAB \).
   • \( DBC \) состоит из \( CBO + OAD \).
   • Так как \( CAD = DBC \) и \( OAB = OBA \), то \( CAO = CBO \).
   • Рассмотрим \( ΔABC \) и \( ΔABD \).
   • \( AO = BO \) (дано).
   • \( CAD = DBC \) (дано).
   • \( CAO = CBO \) (доказано выше).
   • \( ΔABC \) и \( ΔABD \) равны по двум углам и прилежащей стороне (углы \( CAB = DBA \), \( CBA = DAB \) из \( CAD = DBC \) и \( OAB = OBA \)) и общей стороне AB.
   • Следовательно, \( AC = BD \).
   • Из равенства треугольников \( ΔAOD \) и \( ΔBOC \) следует, что \( OAD = OBC \) и \( ODA = OCB \).
   • \( C = OCB \) и \( D = ODA \).
   • Таким образом, \( C = D \).
2. Нахождение АС:
3. Из доказанного равенства треугольников \( ΔABC \) и \( ΔABD \) следует, что соответствующие стороны равны: \( AC = BD \).
4. По условию \( BD = 12 \) см.
5. Следовательно, \( AC = 12 \) см.

Ответ: ∠C = ∠D, AC = 12 см.