Предлог "mit" (с) требует после себя дательного падежа (Dativ). Слово "Hund" (собака) мужского рода. Для определения артикля нужно знать, идёт речь об определённой собаке или неопределенной. В данном контексте, скорее всего, речь идет о своей собаке, поэтому используется притяжательное местоимение "meinem". Так как "Hund" мужского рода, в дательном падеже будет meinem.
Ответ: meinem