7. Два заряди взаємодіють у вакуумі на відстані 27 см так само, як і в рідині на відстані 3 см. Визначити діелектричну проникність рідини. (2 бали)

Задано:

• Відстань у вакуумі: \( r_{vacuum} = 27 \text{ см} \)
• Відстань у рідині: \( r_{liquid} = 3 \text{ см} \)
• Сила взаємодії у вакуумі та рідині однакова: \( F_{vacuum} = F_{liquid} \)

Знайти:

• Діелектричну проникність рідини: \( \varepsilon \)

Розв'язання:

За законом Кулона, сила взаємодії між двома зарядами \( q_1 \) і \( q_2 \) на відстані \( r \) визначається формулою:

• У вакуумі: \( F_{vacuum} = k \frac{|q_1 q_2|}{r_{vacuum}^2} \), де \( k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \) - стала Кулона, \( \varepsilon_0 \) - електрична стала.
• У рідині: \( F_{liquid} = k' \frac{|q_1 q_2|}{r_{liquid}^2} \), де \( k' = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 \varepsilon} \) - стала взаємодії в середовищі, \( \varepsilon \) - діелектрична проникність рідини.

За умовою задачі, \( F_{vacuum} = F_{liquid} \), тому:

• \( k \frac{|q_1 q_2|}{r_{vacuum}^2} = k' \frac{|q_1 q_2|}{r_{liquid}^2} \)
• \( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{r_{vacuum}^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 \varepsilon} \frac{|q_1 q_2|}{r_{liquid}^2} \)

Скорочуємо однакові множники:

• \( \frac{1}{r_{vacuum}^2} = \frac{1}{\varepsilon r_{liquid}^2} \)

Виразимо \( \varepsilon \):

• \( \varepsilon = \frac{r_{vacuum}^2}{r_{liquid}^2} \)
• \( \varepsilon = \left(\frac{r_{vacuum}}{r_{liquid}}\right)^2 \)

Підставимо числові значення:

• \( \varepsilon = \left(\frac{27 \text{ см}}{3 \text{ см}}\right)^2 \)
• \( \varepsilon = \left(9\right)^2 \)
• \( \varepsilon = 81 \)

Відповідь:

Віддавдата дієдетрична проникність рідини становить 81.