7. Два велосипедиста одновременно отправились в 130-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Давай разберемся с этой задачей по шагам, чтобы все было понятно!

Условие задачи:

• Расстояние (S) = 130 км.
• Есть два велосипедиста.
• Скорость первого велосипедиста (v1) на 3 км/ч больше скорости второго (v2).
• Первый велосипедист прибыл на 3 часа раньше второго.
• Нужно найти скорость второго велосипедиста (v2).

Что мы знаем о движении:

Время = Расстояние / Скорость. Это главная формула, которая нам поможет.

Обозначим:

• Скорость второго велосипедиста = v км/ч.
• Скорость первого велосипедиста = v + 3 км/ч.

Теперь выразим время, которое каждый велосипедист потратил на дорогу:

• Время второго велосипедиста (t2) = 130 / v часов.
• Время первого велосипедиста (t1) = 130 / (v + 3) часов.

Ключевой момент: первый велосипедист прибыл на 3 часа раньше второго. Это значит, что время второго было больше времени первого на 3 часа.

Запишем это как уравнение:

t2 = t1 + 3

Подставим наши выражения для времени:

\[ \frac{130}{v} = \frac{130}{v + 3} + 3 \]

Теперь решаем это уравнение. Чтобы избавиться от дробей, умножим все на общий знаменатель: v * (v + 3).

\[ 130(v + 3) = 130v + 3v(v + 3) \]

Раскроем скобки:

\[ 130v + 390 = 130v + 3v^2 + 9v \]

Сократим 130v с обеих сторон:

\[ 390 = 3v^2 + 9v \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 3v^2 + 9v - 390 = 0 \]

Разделим все уравнение на 3, чтобы упростить:

\[ v^2 + 3v - 130 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. Давай используем дискриминант:

D = b^2 - 4ac

Здесь a = 1, b = 3, c = -130.

\[ D = 3^2 - 4 \times 1 \times (-130) \]

\[ D = 9 + 520 \]

\[ D = 529 \]

Извлечем корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{D} = \sqrt{529} = 23 \]

Теперь найдем корни уравнения:

\[ v1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 23}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10 \]

\[ v2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 23}{2 \times 1} = \frac{-26}{2} = -13 \]

Скорость не может быть отрицательной, поэтому v = 10 км/ч — это наш ответ.

Проверка:

• Скорость второго велосипедиста: 10 км/ч.
• Скорость первого велосипедиста: 10 + 3 = 13 км/ч.
• Время второго: 130 км / 10 км/ч = 13 часов.
• Время первого: 130 км / 13 км/ч = 10 часов.
• Разница во времени: 13 часов - 10 часов = 3 часа. Все верно!

Ответ: Скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 10 км/ч.