7. ABCD - прямоугольник с периметром, равным 28 см, у которого AC = 10 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABD.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. Нам дан прямоугольник ABCD, его периметр и длина диагонали. Нужно найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABD.

Дано:

• ABCD — прямоугольник
• Периметр P = 28 см
• Диагональ AC = 10 см

Найти:

• Радиус вписанной окружности в треугольник ABD (r)

Решение:

1. Находим стороны прямоугольника:
• Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: P = 2 * (a + b), где a и b — стороны прямоугольника.
• Из условия P = 28 см, значит, 2 * (a + b) = 28.
• Отсюда, a + b = 28 / 2 = 14 см.
• Диагональ прямоугольника AC = 10 см. В прямоугольнике диагонали равны, так что BD = 10 см.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора: AB^2 + AD^2 = BD^2.
• Так как AB = a и AD = b, то a^2 + b^2 = 10^2 = 100.
• У нас есть система уравнений:
• a + b = 14
• a^2 + b^2 = 100
• Возведем первое уравнение в квадрат: (a + b)^2 = 14^2
• a^2 + 2ab + b^2 = 196
• Подставим a^2 + b^2 = 100: 100 + 2ab = 196
• 2ab = 196 - 100 = 96
• ab = 96 / 2 = 48.
• Теперь найдем стороны a и b. Можно решить квадратное уравнение x^2 - 14x + 48 = 0.
• Дискриминант D = (-14)^2 - 4 * 1 * 48 = 196 - 192 = 4.
• x1 = (14 + sqrt(4)) / 2 = (14 + 2) / 2 = 16 / 2 = 8.
• x2 = (14 - sqrt(4)) / 2 = (14 - 2) / 2 = 12 / 2 = 6.
• Значит, стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см. Пусть a = 8 см, b = 6 см.
2. Находим радиус вписанной окружности в треугольник ABD:
• Треугольник ABD — прямоугольный. Стороны треугольника: AB = 8 см, AD = 6 см, BD = 10 см (гипотенуза).
• Формула радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник: r = (a + b - c) / 2, где a и b — катеты, c — гипотенуза.
• В нашем случае, катеты — это стороны прямоугольника AB и AD, а гипотенуза — диагональ BD.
• r = (AB + AD - BD) / 2
• r = (8 + 6 - 10) / 2
• r = (14 - 10) / 2
• r = 4 / 2 = 2 см.

Ответ: 2 см