7. (2 балла) Решите неравенство: (x-2)(x+3)/(x-8) > 0

Привет! Давай разберёмся с этим неравенством.

Суть задачи: нам нужно найти такие значения x, при которых дробь (x-2)(x+3)/(x-8) будет больше нуля (то есть положительной).

Шаг 1: Находим корни числителя и знаменателя.

Корни числителя — это значения x, при которых числитель равен нулю:

• x - 2 = 0 => x = 2
• x + 3 = 0 => x = -3

Корень знаменателя — это значение x, при котором знаменатель равен нулю. Помни, что на ноль делить нельзя!

• x - 8 = 0 => x = 8

Шаг 2: Отмечаем корни на числовой прямой.

У нас есть три точки: -3, 2 и 8. Они делят числовую прямую на четыре интервала:

1. (-∞; -3)
2. (-3; 2)
3. (2; 8)
4. (8; +∞)

Шаг 3: Определяем знак дроби в каждом интервале.

Для этого подставим любое число из каждого интервала в исходную дробь:

• Интервал 1: (-∞; -3). Возьмём x = -4.
• (-4 - 2)(-4 + 3) / (-4 - 8) = (-6)(-1) / (-12) = 6 / (-12) = -0.5. Знак «–».
• Интервал 2: (-3; 2). Возьмём x = 0.
• (0 - 2)(0 + 3) / (0 - 8) = (-2)(3) / (-8) = -6 / (-8) = 0.75. Знак «+».
• Интервал 3: (2; 8). Возьмём x = 5.
• (5 - 2)(5 + 3) / (5 - 8) = (3)(8) / (-3) = 24 / (-3) = -8. Знак «–».
• Интервал 4: (8; +∞). Возьмём x = 10.
• (10 - 2)(10 + 3) / (10 - 8) = (8)(13) / (2) = 104 / 2 = 52. Знак «+».

Шаг 4: Выбираем интервалы, где дробь положительна.

Нам нужны интервалы, где знак «+». Это интервалы 2 и 4.

Ответ: x ∈ (-3; 2) ∪ (8; +∞)