6 Задачи Докажите, что хорда, не проходящая через центр окружности, меньше диаметра.

Задание 6. Доказательство свойства хорды

Условие: Докажите, что хорда, не проходящая через центр окружности, меньше диаметра.

Доказательство:

Пусть у нас есть окружность с центром в точке O. Возьмём хорду AB, которая не проходит через центр O. Также рассмотрим диаметр CD, проходящий через центр O.

Проведём радиусы OA и OB. Треугольник OAB является равнобедренным, так как OA = OB = R (радиус окружности).

В этом треугольнике AB — основание, а OA и OB — боковые стороны.

По неравенству треугольника, сумма двух сторон всегда больше третьей стороны. В нашем случае:

\( OA + OB > AB \)

Подставим значения радиусов:

\[ R + R > AB \]

\[ 2R > AB \]

Так как диаметр окружности равен удвоенному радиусу (D = 2R), мы получаем:

\[ D > AB \]

Это означает, что любая хорда, не проходящая через центр окружности, короче диаметра.

Вывод: Теорема доказана.