69. Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шестиугольника равен 48 см.

Решение:

1. Находим сторону шестиугольника:

• Периметр правильного шестиугольника равен 48 см.
• Сторона шестиугольника (a) = Периметр / 6 = 48 см / 6 = 8 см.

2. Находим радиус вписанной окружности:

• В правильном шестиугольнике радиус вписанной окружности (r) равен высоте равностороннего треугольника, который является стороной шестиугольника.
• Высота равностороннего треугольника со стороной 'a' находится по формуле: $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$.
• $$r = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$ см.

3. Находим сторону квадрата:

• Квадрат описан около той же окружности.
• Сторона квадрата (b) равна диаметру вписанной окружности.
• $$b = 2 \times r = 2 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$$ см.

4. Находим периметр квадрата:

• Периметр квадрата (P) = 4 * сторона квадрата.
• $$P = 4 \times 8\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$$ см.

Ответ: $$32\sqrt{3}$$ см.