689 В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение:

• Дано: Равнобедренный треугольник ABC, AB = AC = 13 см, BC = 10 см.
• Найти: Радиус вписанной окружности (r).
• Шаг 1: Найдем высоту треугольника.

  Проведем высоту BH к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, AH = HC = BC / 2 = 10 / 2 = 5 см.

  Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (угол AHB = 90°). По теореме Пифагора:

  BH² = AB² - AH²

  BH² = 13² - 5²

  BH² = 169 - 25

  BH² = 144

  BH = √144 = 12 см.

• Шаг 2: Найдем площадь треугольника.

  Площадь треугольника (S) равна половине произведения основания на высоту:

  S = 1/2 * BC * BH

  S = 1/2 * 10 * 12

  S = 60 см².

• Шаг 3: Найдем радиус вписанной окружности.

  Радиус вписанной окружности (r) можно найти по формуле:

  r = S / p

  где S — площадь треугольника, а p — полупериметр треугольника.

  Полупериметр (p) = (AB + AC + BC) / 2 = (13 + 13 + 10) / 2 = 36 / 2 = 18 см.

  r = 60 / 18

  r = 10 / 3 см.

Ответ: ⅚ см.