680. Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке D. Найдите: а) AD, если BD = 11,4 см, AC = 8,5 см; б) BD, если AD = 3,2 см, AC = 8,5 см.

Решение:

а) Найдем AD:

1. Пусть точка P — середина стороны AB, а точка Q — середина стороны AC.
2. DP — серединный перпендикуляр к AB, следовательно, DP ⊥ AB и AP = PB.
3. DQ — серединный перпендикуляр к AC, следовательно, DQ ⊥ AC и AQ = QC.
4. Так как D лежит на серединном перпендикуляре к AB, то расстояние от D до A равно расстоянию от D до B. То есть AD = BD.
5. По условию BD = 11,4 см.
6. Следовательно, AD = 11,4 см.

б) Найдем BD:

1. Пусть точка P — середина стороны AB, а точка Q — середина стороны AC.
2. DP — серединный перпендикуляр к AB, следовательно, DP ⊥ AB и AP = PB.
3. DQ — серединный перпендикуляр к AC, следовательно, DQ ⊥ AC и AQ = QC.
4. Так как D лежит на серединном перпендикуляре к AB, то расстояние от D до A равно расстоянию от D до B. То есть AD = BD.
5. По условию AD = 3,2 см.
6. Следовательно, BD = 3,2 см.

Ответ: а) AD = 11,4 см; б) BD = 3,2 см.