№ 68. Решите графически уравнение: 1) x² – 3x – 2 = 0; 2) x² + x + 2 = 0.

Привет! Давай разберем, как решать уравнения графически.

Чтобы решить уравнение графически, мы представим его в виде пересечения двух графиков функций. Обычно это парабола и прямая, или две параболы.

1) Уравнение: x² – 3x – 2 = 0

Перепишем уравнение так, чтобы получить две функции:

• x² = 3x + 2

Теперь нам нужно построить графики функций y = x² (это парабола) и y = 3x + 2 (это прямая).

• График 1: y = x² (парабола). Вершина в точке (0;0), проходит через (1;1), (-1;1), (2;4), (-2;4) и т.д.
• График 2: y = 3x + 2 (прямая). Чтобы построить прямую, возьмем две точки. Например:
  • При x = 0, y = 3*0 + 2 = 2. Точка (0; 2).
  • При x = 1, y = 3*1 + 2 = 5. Точка (1; 5).

Построив эти графики, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Координаты x этих точек и будут решениями нашего уравнения.

Построение графика (примерное):

Парабола y = x² и прямая y = 3x + 2 пересекутся примерно в точках x ≈ -0,6 и x ≈ 3,6.

Ответ: Уравнение x² – 3x – 2 = 0 имеет два корня, которые можно найти, построив графики y = x² и y = 3x + 2. Примерные корни: x ≈ -0,6 и x ≈ 3,6.

2) Уравнение: x² + x + 2 = 0

Перепишем уравнение так, чтобы получить две функции:

• x² = -x - 2

Теперь нам нужно построить графики функций y = x² (парабола) и y = -x - 2 (прямая).

• График 1: y = x² (парабола). Как и в первом случае, вершина в (0;0).
• График 2: y = -x - 2 (прямая). Возьмем две точки:
  • При x = 0, y = -0 - 2 = -2. Точка (0; -2).
  • При x = -1, y = -(-1) - 2 = 1 - 2 = -1. Точка (-1; -1).

Теперь посмотрим, пересекаются ли эти графики. График y = x² всегда находится выше оси X (или на ней), то есть y ≥ 0. А график y = -x - 2 для x = 0 равен -2, для x = -1 равен -1. Можно заметить, что для всех действительных x, значение -x - 2 всегда будет отрицательным (или меньше нуля).

Поскольку y = x² всегда неотрицателен, а y = -x - 2 всегда отрицателен, эти графики никогда не пересекутся.

Вывод: Уравнение x² + x + 2 = 0 не имеет действительных корней, так как графики функций y = x² и y = -x - 2 не пересекаются.

Ответ: Уравнение x² + x + 2 = 0 не имеет действительных корней.