68. К окружности с диаметром AB в точке A проведена касательная. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружность в точке C и касательную в точке K. Через точку C проведена хорда CD параллельно AB, так что получилась трапеция ACDB. Через точку D проведена касательная, пересекающая прямую AK в точке E. Найдите радиус окружности, если прямые DE и BC параллельны, ∠EDC = 30° и KB = 3√3.

Расположим окружность так, чтобы \(A=(0,0)\), \(B=(2r,0)\), а касательная в точке \(A\) была вертикальной. Пусть \(K=(0,k)\). Из условия \(KB=3\sqrt3\):

\[KB^2=(2r)^2+k^2=27.\]

Хорда \(CD\parallel AB\), поэтому точки \(C\, и \,D\) имеют одинаковую высоту. Условие \(DE\parallel BC\) означает, что касательная в \(D\) параллельна секущей \(BC\). По теореме о касательной и хорде угол между касательной в \(D\) и хордой \(DC\) равен вписанному углу \(DBC\). Поэтому \(\angle DBC=\angle EDC=30^\circ\).

В прямоугольном треугольнике \(ABK\) угол при \(B\) равен \(30^\circ\), так как \(AK\perp AB\) и \(BK\) образует с горизонталью угол \(30^\circ\). Следовательно,

\[AK=AB\tan30^\circ=2r\cdot\frac1{\sqrt3}=\frac{2r}{\sqrt3}.\]

Так как \(KB=3\sqrt3\), то \(AB=KB\cos30^\circ=3\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac92\). Значит, \(2r=\frac92\), откуда

\[r=\frac94.\]

Ответ: \(\frac94\).