68. 43 Найдите путь, пройденный точкой за промежуток времени от t1=0 до t2=4, если зависимость скорости тела v от времени t описывается уравнением 9 (x) = 3t² – 2t (t - в секундах, 9 - в м/с).

Решение:

Путь \( S \), пройденный телом, находится как определённый интеграл от скорости \( v(t) \) по времени \( t \) от \( t_1 \) до \( t_2 \).

В данном случае, скорость \( v(t) = 9(t) = 3t^2 - 2t \). Найдём путь за промежуток времени от \( t_1 = 0 \) до \( t_2 = 4 \) секунд.

\[ S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt = \int_{0}^{4} (3t^2 - 2t) \, dt \]

Проинтегрируем функцию:

\[ \int (3t^2 - 2t) \, dt = \frac{3t^3}{3} - \frac{2t^2}{2} + C = t^3 - t^2 + C \]

Теперь вычислим определённый интеграл:

\[ S = [t^3 - t^2]_{0}^{4} = (4^3 - 4^2) - (0^3 - 0^2) \]

\( S = (64 - 16) - (0) \)

\( S = 48 \)

Ответ: 48 метров.