67. Упростите: a) (x - y)(x+y)(x²+ y²); б) (2a+b)(4a² + b²)(2a - b); в) (c³+b)(c³ - b)(c + b²); г) (3m - 2)(3m+2)+4; д) 25п² - (7+5n)(7 - 5n); e) 6x²-(x-0,5)(x + 0,5).

Решение:

a)

Сначала воспользуемся формулой разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) для первых двух множителей:

\[ (x - y)(x+y)(x^2+y^2) = (x^2 - y^2)(x^2+y^2) \]

Теперь снова применим формулу разности квадратов:

\[ (x^2 - y^2)(x^2+y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4 \]

б)

Сначала сгруппируем множители так, чтобы применить формулу разности квадратов:

\[ (2a+b)(4a^2 + b^2)(2a - b) = ((2a+b)(2a-b))(4a^2+b^2) \]

Применим формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):

\[ ((2a)^2 - b^2)(4a^2+b^2) = (4a^2 - b^2)(4a^2+b^2) \]

Снова применим формулу разности квадратов:

\[ (4a^2 - b^2)(4a^2+b^2) = (4a^2)^2 - (b^2)^2 = 16a^4 - b^4 \]

в)

Сначала воспользуемся формулой разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) для первых двух множителей:

\[ (c^3+b)(c^3 - b)(c+b^2) = ((c^3)^2 - b^2)(c+b^2) = (c^6 - b^2)(c+b^2) \]

Раскроем скобки:

\[ (c^6 - b^2)(c+b^2) = c^6 · c + c^6 · b^2 - b^2 · c - b^2 · b^2 = c^7 + c^6b^2 - cb^2 - b^4 \]

г)

Используем формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):

\[ (3m - 2)(3m+2)+4 = ((3m)^2 - 2^2) + 4 = (9m^2 - 4) + 4 = 9m^2 - 4 + 4 = 9m^2 \]

д)

Используем формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \). Обратим внимание, что \( (7+5n) = (5n+7) \) и \( (7-5n) \). Если поменять порядок слагаемых во второй скобке, получим \( -(5n-7) \). Удобнее сначала применить формулу к \( (7+5n)(7-5n) \).

\[ 25n^2 - (7+5n)(7-5n) = 25n^2 - (7^2 - (5n)^2) = 25n^2 - (49 - 25n^2) = 25n^2 - 49 + 25n^2 = 50n^2 - 49 \]

e)

Используем формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):

\[ 6x^2 - (x-0.5)(x+0.5) = 6x^2 - (x^2 - (0.5)^2) = 6x^2 - (x^2 - 0.25) = 6x^2 - x^2 + 0.25 = 5x^2 + 0.25 \]

Ответ: а) \( x^4 - y^4 \); б) \( 16a^4 - b^4 \); в) \( c^7 + c^6b^2 - cb^2 - b^4 \); г) \( 9m^2 \); д) \( 50n^2 - 49 \); е) \( 5x^2 + 0.25 \).