650. Существует ли многоугольник, каждый угол которого равен: 1) 150°; 2) 100°?

Привет! Для ответа на этот вопрос нам нужно вспомнить два факта:

1. Формула для суммы углов многоугольника:

   \[ S = (n-2) \times 180^{\circ} \]

2. Если все углы равны, то каждый угол можно найти, разделив сумму углов на количество углов (n):

   \[ \text{Угол} = \frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n} \]

Теперь будем проверять каждый случай:

1. Каждый угол равен 150°:

   Приравняем формулу для угла к 150° и найдем n:

   \[ \frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n} = 150^{\circ} \]

   Умножим обе части на n:

   \[ (n-2) \times 180^{\circ} = 150^{\circ} n \]

   Раскроем скобки:

   \[ 180n - 360 = 150n \]

   Перенесем члены с n в одну сторону, а числа — в другую:

   \[ 180n - 150n = 360 \]

   \[ 30n = 360 \]

   \[ n = \frac{360}{30} = 12 \]

   Получилось целое число 12, которое больше 3. Значит, существует двенадцатиугольник, у которого каждый угол равен 150°.

2. Каждый угол равен 100°:

   Теперь проделаем то же самое для 100°:

   \[ \frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n} = 100^{\circ} \]

   \[ (n-2) \times 180^{\circ} = 100^{\circ} n \]

   \[ 180n - 360 = 100n \]

   \[ 180n - 100n = 360 \]

   \[ 80n = 360 \]

   \[ n = \frac{360}{80} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} = 4.5 \]

   Результат получился нецелым числом. А у многоугольника количество сторон (и углов) должно быть целым. Значит, многоугольника, у которого каждый угол равен 100°, не существует.

Ответ: 1) Да; 2) Нет.