65. 40 Найдите первообразную, график которой проходит через точку A: f (x) = 3x² - 2x + 4; A(-1;1)

Решение:

Сначала найдём первообразную в общем виде для функции \( f(x) = 3x^2 - 2x + 4 \).

\[ F(x) = \int (3x^2 - 2x + 4) dx \]\[ F(x) = 3 \int x^2 dx - 2 \int x dx + \int 4 dx \]\[ F(x) = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 4x + C \]\[ F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x + C \]\[ F(x) = x^3 - x^2 + 4x + C \]

Теперь используем условие, что график проходит через точку \( A(-1;1) \). Это значит, что при \( x = -1 \) значение \( F(x) = 1 \).

\[ 1 = (-1)^3 - (-1)^2 + 4(-1) + C \]\[ 1 = -1 - 1 - 4 + C \]\[ 1 = -6 + C \]

Вычислим \( C \):

\[ C = 1 + 6 \]\[ C = 7 \]

Подставим найденное значение \( C \) в выражение для первообразной:

\[ F(x) = x^3 - x^2 + 4x + 7 \]

Ответ: \( F(x) = x^3 - x^2 + 4x + 7 \).