63. 38 Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функции: y = – x² - 4x, y = 4 + x

Решение:

Сначала найдём точки пересечения графиков функций \( y = -x^2 - 4x \) и \( y = 4 + x \).

Приравняем правые части уравнений:

\[ -x^2 - 4x = 4 + x \]\[ -x^2 - 4x - x - 4 = 0 \]\[ -x^2 - 5x - 4 = 0 \]\[ x^2 + 5x + 4 = 0 \]\[ (x+1)(x+4) = 0 \]\[ x_1 = -1, x_2 = -4 \]

Теперь вычислим площадь фигуры, ограниченной этими графиками, используя определенный интеграл. Функция \( y = 4 + x \) находится выше \( y = -x^2 - 4x \) на интервале \( [-4, -1] \).

\[ S = \int_{-4}^{-1} ((4+x) - (-x^2 - 4x)) dx \]\[ S = \int_{-4}^{-1} (4 + x + x^2 + 4x) dx \]\[ S = \int_{-4}^{-1} (x^2 + 5x + 4) dx \]\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 4x \right]_{-4}^{-1} \]\[ S = \left( \frac{(-1)^3}{3} + \frac{5(-1)^2}{2} + 4(-1) \right) - \left( \frac{(-4)^3}{3} + \frac{5(-4)^2}{2} + 4(-4) \right) \]\[ S = \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right) - \left( -\frac{64}{3} + \frac{5 \cdot 16}{2} - 16 \right) \]\[ S = \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right) - \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) \]\[ S = \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right) - \left( -\frac{64}{3} + 24 \right) \]\[ S = -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 + \frac{64}{3} - 24 \]\[ S = \frac{63}{3} + \frac{5}{2} - 28 \]\[ S = 21 + \frac{5}{2} - 28 \]\[ S = -7 + \frac{5}{2} \]\[ S = \frac{-14 + 5}{2} \]\[ S = -\frac{9}{2} \]

Поскольку площадь не может быть отрицательной, мы брали разность функций в неправильном порядке. Верхняя функция - \(y = 4+x\), нижняя - \(y = -x^2-4x\). Это было учтено в интеграле.

Пересчитаем:

\[ S = \left( \frac{(-1)^3}{3} + \frac{5(-1)^2}{2} + 4(-1) \right) - \left( \frac{(-4)^3}{3} + \frac{5(-4)^2}{2} + 4(-4) \right) \]\[ S = \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right) - \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) \]\[ S = \left( \frac{-2 + 15 - 24}{6} \right) - \left( -\frac{64}{3} + 24 \right) \]\[ S = \frac{-11}{6} - \left( \frac{-64 + 72}{3} \right) \]\[ S = \frac{-11}{6} - \frac{8}{3} \]\[ S = \frac{-11 - 16}{6} = -\frac{27}{6} = -\frac{9}{2} \]

Возникает ошибка в вычислениях. Повторим:

\( S = \int_{-4}^{-1} (x^2 + 5x + 4) dx \)

Первообразная: \( F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 4x \)

\( F(-1) = \frac{(-1)^3}{3} + \frac{5(-1)^2}{2} + 4(-1) = -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 = \frac{-2 + 15 - 24}{6} = -\frac{11}{6} \)

\( F(-4) = \frac{(-4)^3}{3} + \frac{5(-4)^2}{2} + 4(-4) = -\frac{64}{3} + \frac{5 \cdot 16}{2} - 16 = -\frac{64}{3} + 40 - 16 = -\frac{64}{3} + 24 = \frac{-64 + 72}{3} = \frac{8}{3} \)

\( S = F(-1) - F(-4) = -\frac{11}{6} - \frac{8}{3} = -\frac{11}{6} - \frac{16}{6} = -\frac{27}{6} = -\frac{9}{2} \)

Проверим, какая функция выше. В точке \( x = -2 \): \( y = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4 \). \( y = 4 + (-2) = 2 \). Значит, \( -x^2 - 4x \) выше. Перепутаны функции.

Правильный интеграл:

\[ S = \int_{-4}^{-1} ((-x^2 - 4x) - (4+x)) dx \]\[ S = \int_{-4}^{-1} (-x^2 - 5x - 4) dx \]\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} - 4x \right]_{-4}^{-1} \]\[ S = \left( -\frac{(-1)^3}{3} - \frac{5(-1)^2}{2} - 4(-1) \right) - \left( -\frac{(-4)^3}{3} - \frac{5(-4)^2}{2} - 4(-4) \right) \]\[ S = \left( -(-\frac{1}{3}) - \frac{5}{2} + 4 \right) - \left( -(-\frac{64}{3}) - \frac{5 · 16}{2} + 16 \right) \]\[ S = \left( \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4 \right) - \left( \frac{64}{3} - 40 + 16 \right) \]\[ S = \left( \frac{2 - 15 + 24}{6} \right) - \left( \frac{64}{3} - 24 \right) \]\[ S = \frac{11}{6} - \left( \frac{64 - 72}{3} \right) \]\[ S = \frac{11}{6} - \frac{-8}{3} \]\[ S = \frac{11}{6} + \frac{8}{3} \]\[ S = \frac{11 + 16}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \]

Ответ: \( \frac{9}{2} \).