623. Солнечные лучи падают на Землю под углом φ = 22° к ее поверхности. Под каким углом к горизонту нужно расположить плоское зеркало, чтобы отраженные от него световые лучи пошли вертикально вверх?

Решение:

Обозначим угол падения солнечных лучей на поверхность Земли как \( \alpha_{пад} \). По условию, \( \alpha_{пад} = 22^{\circ} \).

Чтобы отраженный луч шёл вертикально вверх, угол отражения \( \alpha_{отр} \) должен быть равен \( 90^{\circ} \) относительно вертикали. Следовательно, угол отражения относительно горизонта должен быть \( 0^{\circ} \).

Согласно закону отражения, угол падения равен углу отражения: \( \alpha_{пад} = \alpha_{отр} \).

Пусть \( \beta \) — угол, под которым нужно расположить зеркало к горизонту. Тогда угол между падающим лучом и зеркалом равен \( 90^{\circ} - \beta \), а угол между отражённым лучом и зеркалом также равен \( 90^{\circ} - \beta \).

Угол падения \( \alpha_{пад} \) — это угол между падающим лучом и нормалью к поверхности (зеркалу). Угол отражения \( \alpha_{отр} \) — это угол между отражённым лучом и нормалью.

Нам нужно, чтобы отраженный луч был вертикален, то есть направлен строго вверх. Это значит, что угол между отражённым лучом и горизонтом равен \( 90^{\circ} \).

Давайте рассмотрим углы относительно горизонта:

• Угол падения солнечных лучей к поверхности Земли: \( \alpha = 22^{\circ} \).
• Это значит, что угол между падающим лучом и горизонтом равен \( 90^{\circ} - 22^{\circ} = 68^{\circ} \).
• Пусть \( \gamma \) — угол, под которым расположено зеркало к горизонту.
• Угол между падающим лучом и зеркалом равен \( \gamma - (90^{\circ} - \alpha) \) или \( (90^{\circ} - \alpha) - \gamma \), в зависимости от того, как расположено зеркало.
• Угол падения \( i \) и угол отражения \( r \) относительно нормали к зеркалу равны: \( i = r \).
• Нам нужно, чтобы отраженный луч был вертикален. Это значит, что угол между отражённым лучом и горизонтом равен \( 90^{\circ} \).
• Рассмотрим геометрию: падающий луч образует угол \( 68^{\circ} \) с горизонтом. Пусть зеркало наклонено под углом \( \gamma \) к горизонту.
• Угол падения \( i \) (относительно нормали к зеркалу): \( i = |(90^{\circ} - \gamma) - (90^{\circ} - \alpha)| = |\alpha - \gamma| \).
• Угол отражения \( r \) также равен \( |\alpha - \gamma| \).
• Угол между отраженным лучом и горизонтом должен быть \( 90^{\circ} \).
• Угол между отраженным лучом и нормалью к зеркалу равен \( r \).
• Угол между нормалью к зеркалу и горизонтом равен \( 90^{\circ} - \gamma \).
• Для того чтобы отраженный луч был вертикален, угол между отраженным лучом и горизонтом должен быть \( 90^{\circ} \).
• Это происходит, когда угол между отраженным лучом и нормалью \( r \) и угол между нормалью и горизонтом \( 90^{\circ} - \gamma \) составляют \( 90^{\circ} \) в сумме или разности.
• Рассмотрим ситуацию, когда отраженный луч идёт вертикально вверх. Это значит, что угол между отраженным лучом и нормалью к зеркалу равен \( 90^{\circ} - (90^{\circ} - \gamma) = \gamma \).
• Значит, \( r = \gamma \).
• Так как \( i = r \), то \( i = \gamma \).
• Следовательно, \( |\alpha - \gamma| = \gamma \).
• Возможны два случая:
• 1) \( \alpha - \gamma = \gamma \) → \( \alpha = 2\gamma \) → \( \gamma = \frac{\alpha}{2} = \frac{22^{\circ}}{2} = 11^{\circ} \).
• 2) \( \alpha - \gamma = -\gamma \) → \( \alpha = 0 \), что невозможно.
• Таким образом, угол, под которым нужно расположить зеркало к горизонту, равен половине угла падения солнечных лучей к поверхности Земли.

Ответ: 11°.