62. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 12см, а апофема - 15см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

Полная поверхность правильной четырёхугольной пирамиды складывается из площади основания и площади боковой поверхности.

1. Площадь основания:

Основание — квадрат. Найдем сторону квадрата \( a \), используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды \( h \), апофемой \( l \) и половиной стороны основания \( \frac{a}{2} \).

\( l^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 \)

\[ 15^2 = 12^2 + (\frac{a}{2})^2 \]

\[ 225 = 144 + \frac{a^2}{4} \]

\[ \frac{a^2}{4} = 225 - 144 = 81 \]

\[ a^2 = 81 \cdot 4 = 324 \]

Площадь основания \( S_{осн} = a^2 = 324 \) см².

2. Площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле \( S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l \), где \( P \) — периметр основания, \( l \) — апофема.

Периметр основания \( P = 4a \). Так как \( a^2 = 324 \), то \( a = \sqrt{324} = 18 \) см.

\( P = 4 \cdot 18 = 72 \) см.

\[ S_{бок} = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 72 \(\cdot\) 15 = 36 \(\cdot\) 15 = 540 \) см².

3. Площадь полной поверхности:

\( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \)

\[ S_{полн} = 324 + 540 = 864 \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды равна 864 см².