61. (Для работы в парах.) Докажите, что всякое простое число, начиная с 5, либо увеличенное, либо уменьшенное на 1, делится на 6. 1) Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуем взять простые числа из третьего десятка, другому – из седьмого десятка. 2) Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства. 3) Проведите доказательство.

Решение:

Теорема: Всякое простое число, начиная с 5, либо увеличенное, либо уменьшенное на 1, делится на 6.

1. Проверка на примерах:

• Третий десяток:
• Простые числа: 23, 29.
• \(23 - 1 = 22\) (не делится на 6)
• \(23 + 1 = 24\) (делится на 6)
• \(29 - 1 = 28\) (не делится на 6)
• \(29 + 1 = 30\) (делится на 6)
• Седьмой десяток:
• Простые числа: 71, 73, 79.
• \(71 - 1 = 70\) (не делится на 6)
• \(71 + 1 = 72\) (делится на 6)
• \(73 - 1 = 72\) (делится на 6)
• \(73 + 1 = 74\) (не делится на 6)
• \(79 - 1 = 78\) (делится на 6)
• \(79 + 1 = 80\) (не делится на 6)

Примечание: Простые числа 2 и 3 не удовлетворяют условию, так как \(2-1=1\), \(2+1=3\), \(3-1=2\), \(3+1=4\), ни одно из которых не делится на 6.

2. Обсуждение справедливости свойства:

Простые числа, большие 3, имеют вид \(6k ± 1\) для некоторого целого \(k\). Это следует из того, что любое число может быть представлено в виде \(6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4, 6k+5\). Числа \(6k\), \(6k+2\), \(6k+4\) делятся на 2, а \(6k\), \(6k+3\) делятся на 3. Следовательно, простые числа, большие 3, могут иметь только вид \(6k+1\) или \(6k+5\), что эквивалентно \(6k ± 1\).

Если простое число \(p > 3\), то \(p = 6k ± 1\).

• Если \(p = 6k + 1\), то \(p + 1 = 6k + 2\) (не делится на 6) и \(p - 1 = 6k\) (делится на 6).
• Если \(p = 6k + 5\), то \(p - 1 = 6k + 4\) (не делится на 6) и \(p + 1 = 6k + 6 = 6(k+1)\) (делится на 6).

Таким образом, для любого простого числа \(p > 3\), либо \(p-1\), либо \(p+1\) делится на 6.

3. Доказательство:

Пусть \(p\) — простое число, \(p ≥ 5\).

Рассмотрим число \(p\) по модулю 6.

Любое целое число может быть записано в одном из следующих видов: \(6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4, 6k+5\).

Поскольку \(p\) — простое число и \(p ≥ 5\), оно не может делиться на 2 или 3. Поэтому \(p\) не может иметь вид \(6k\) (делится на 6), \(6k+2\) (делится на 2), \(6k+3\) (делится на 3), \(6k+4\) (делится на 2).

Следовательно, \(p\) может иметь только вид \(6k+1\) или \(6k+5\).

Случай 1: \(p = 6k+1\)

Рассмотрим \(p-1\):

\(p-1 = (6k+1) - 1 = 6k\).

Число \(6k\) делится на 6. Таким образом, \(p-1\) делится на 6.

Случай 2: \(p = 6k+5\)

Рассмотрим \(p+1\):

\(p+1 = (6k+5) + 1 = 6k+6 = 6(k+1)\).

Число \(6(k+1)\) делится на 6. Таким образом, \(p+1\) делится на 6.

В обоих случаях, либо \(p-1\) (уменьшенное на 1) делится на 6, либо \(p+1\) (увеличенное на 1) делится на 6.

Ответ: Доказано.