60. Найти общие решения дифференциальных уравнений. a) ydx+(2√xy-x)dy = 0; б) ху'+y-x-1=0.

Решение:

а) ydx+(2√xy-x)dy = 0

Это дифференциальное уравнение вида \( M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \).

Проверим, является ли оно уравнением в полных дифференциалах: \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y) = 1 \) и \( \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2\sqrt{xy}-x) = \frac{2x}{2\sqrt{xy}} - 1 = \sqrt{\frac{x}{y}} - 1 \).

Так как \( \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} \), уравнение не является уравнением в полных дифференциалах.

Попробуем привести его к виду \( y' = f(\frac{y}{x}) \) или \( x' = f(\frac{x}{y}) \).

Разделим уравнение на \( dx \):

\( y + (2\sqrt{xy} - x) \frac{dy}{dx} = 0 \)

\( (2\sqrt{xy} - x) y' = -y \)

\( y' = -\frac{y}{2\sqrt{xy}-x} = \frac{y}{x - 2\sqrt{xy}} \)

Разделим числитель и знаменатель на \( x \):

\( y' = \frac{\frac{y}{x}}{1 - 2\sqrt{\frac{y}{x}}} \)

Это однородное уравнение. Сделаем замену \( y = ux \), тогда \( y' = u'x + u \).

\( u'x + u = \frac{u}{1 - 2\sqrt{u}} \)

\( u'x = \frac{u}{1 - 2\sqrt{u}} - u = \frac{u - u(1 - 2\sqrt{u})}{1 - 2\sqrt{u}} = \frac{u - u + 2u\sqrt{u}}{1 - 2\sqrt{u}} = \frac{2u\sqrt{u}}{1 - 2\sqrt{u}} \)

\( \frac{du}{dx} x = \frac{2u\sqrt{u}}{1 - 2\sqrt{u}} \)

Разделим переменные:

\( \frac{1 - 2\sqrt{u}}{2u\sqrt{u}} du = \frac{1}{x} dx \)

\( \left(\frac{1}{2u\sqrt{u}} - \frac{2\sqrt{u}}{2u\sqrt{u}}\right) du = \frac{1}{x} dx \)

\( \left(\frac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}} - u^{-1}\right) du = \frac{1}{x} dx \)

Интегрируем обе части:

\( \int \left(\frac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}} - u^{-1}\right) du = \int \frac{1}{x} dx \)

\( \frac{1}{2} \frac{u^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} - \ln|u| = \ln|x| + C \)

\( -u^{-\frac{1}{2}} - \ln|u| = \ln|x| + C \)

\( -\frac{1}{\sqrt{u}} - \ln|u| = \ln|x| + C \)

Подставляем \( u = \frac{y}{x} \):

\( -\frac{1}{\sqrt{\frac{y}{x}}} - \ln|\frac{y}{x}| = \ln|x| + C \)

\( -\sqrt{\frac{x}{y}} - (\ln|y| - \ln|x|) = \ln|x| + C \)

\( -\sqrt{\frac{x}{y}} - \ln|y| + \ln|x| = \ln|x| + C \)

\( -\sqrt{\frac{x}{y}} - \ln|y| = C \)

\( \sqrt{\frac{x}{y}} + \ln|y| = -C \)

Пусть \( C_1 = -C \):

\( \sqrt{\frac{x}{y}} + \ln|y| = C_1 \)

б) ху'+y-x-1=0

Перепишем уравнение в виде:

\( xy' + y = x + 1 \)

\( y' + \frac{1}{x} y = 1 + \frac{1}{x} \)

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида \( y' + P(x)y = Q(x) \), где \( P(x) = \frac{1}{x} \) и \( Q(x) = 1 + \frac{1}{x} \).

Найдем интегрирующий множитель \( \mu(x) \):

\[ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = |x| \]

Предположим \( x > 0 \), тогда \( \mu(x) = x \).

Умножим уравнение на \( x \):

\( x y' + y = x(1 + \frac{1}{x}) \)

\( x y' + y = x + 1 \)

Левая часть уравнения является производной от произведения \( (xy) \):

\( (xy)' = x + 1 \)

Интегрируем обе части:

\[ \int (xy)' dx = \int (x+1) dx \]

\[ xy = \frac{x^2}{2} + x + C \]

Разделим на \( x \) (при \( x \neq 0 \)):

\[ y = \frac{x}{2} + 1 + \frac{C}{x} \]

Ответ:

а) \( \sqrt{\frac{x}{y}} + \ln|y| = C_1 \)

б) \( y = \frac{x}{2} + 1 + \frac{C}{x} \)