6. y'' + 9y = 9x + 2, y(0) = 1, y'(0) = 3

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

1. Найдем общее решение однородного уравнения y'' + 9y = 0.

Характеристическое уравнение: r² + 9 = 0.

Корни характеристического уравнения: r = ±3i.

Общее решение однородного уравнения: y_h = C₁cos(3x) + C₂sin(3x).

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения y'' + 9y = 9x + 2.

Предполагаем частное решение в виде y_p = Ax + B.

Найдем производные:

y_p' = A

y_p'' = 0

Подставим в неоднородное уравнение:

0 + 9(Ax + B) = 9x + 2

9Ax + 9B = 9x + 2

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x:

При x: 9A = 9 => A = 1.

Свободный член: 9B = 2 => B = 2/9.

Частное решение: y_p = x + 2/9.

3. Общее решение неоднородного уравнения: y = y_h + y_p = C₁cos(3x) + C₂sin(3x) + x + 2/9.

4. Найдем значения констант C₁ и C₂, используя начальные условия y(0) = 1 и y'(0) = 3.

y(0) = C₁cos(0) + C₂sin(0) + 0 + 2/9 = C₁ + 2/9 = 1 => C₁ = 1 - 2/9 = 7/9.

Найдем производную общего решения:

y' = -3C₁sin(3x) + 3C₂cos(3x) + 1.

y'(0) = -3C₁sin(0) + 3C₂cos(0) + 1 = 3C₂ + 1 = 3 => 3C₂ = 2 => C₂ = 2/3.

Окончательное решение: y = 7/9 cos(3x) + 2/3 sin(3x) + x + 2/9.

Ответ: y = 7/9 cos(3x) + 2/3 sin(3x) + x + 2/9.