6. Вычислите \(f'(\pi)\), если \(f(x) = \ln(x - \frac{\pi}{2})\)

Решение:

Сначала найдем производную функции \(f(x) = \ln(x - \frac{\pi}{2})\).

Используем правило дифференцирования сложной функции: \(( \ln u )' = \frac{1}{u} \cdot u'\).

В нашем случае, \(u = x - \frac{\pi}{2}\). Тогда \(u' = (x - \frac{\pi}{2})' = 1\).

Следовательно, производная \(f'(x)\) равна:

\[ f'(x) = \frac{1}{x - \frac{\pi}{2}} \cdot 1 = \frac{1}{x - \frac{\pi}{2}} \]

Теперь вычислим значение производной в точке \(x = \pi\):

\[ f'(\pi) = \frac{1}{\pi - \frac{\pi}{2}} \]

Вычислим знаменатель:

\[ \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \]

Тогда:

\[ f'(\pi) = \frac{1}{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi} \]

Ответ: \(\frac{2}{\pi}\)