6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y= x^2+5, y=0, x= 1, x=-2

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = f(x) \), \( y = 0 \) (ось абсцисс), \( x = a \) и \( x = b \), вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \]

В нашем случае \( f(x) = x^2 + 5 \), \( a = -2 \) и \( b = 1 \).

Так как \( x^2 + 5 \) всегда больше нуля для любых \( x \), то \( |x^2 + 5| = x^2 + 5 \).

Вычисляем интеграл:

\[ S = \int_{-2}^{1} (x^2 + 5) dx \]

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + 5x \right]_{-2}^{1} \]

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

\[ S = \left( \frac{1^3}{3} + 5 \cdot 1 \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + 5 \cdot (-2) \right) \]

\[ S = \left( \frac{1}{3} + 5 \right) - \left( \frac{-8}{3} - 10 \right) \]

\[ S = \frac{1}{3} + 5 + \frac{8}{3} + 10 \]

\[ S = \left( \frac{1}{3} + \frac{8}{3} \right) + (5 + 10) \]

\[ S = \frac{9}{3} + 15 \]

\[ S = 3 + 15 = 18 \]

Ответ: 18.