Контрольные задания > 6. В равнобедренный треугольник АВС вписана окружность, которая касается стороны ВС в точке N. Найдите периметр треугольника АВС, если BN = 7 см и NC = 4 см. Дано: Решение:
Вопрос:

6. В равнобедренный треугольник АВС вписана окружность, которая касается стороны ВС в точке N. Найдите периметр треугольника АВС, если BN = 7 см и NC = 4 см. Дано: Решение:

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

  1. По условию задачи: Треугольник ABC — равнобедренный. Окружность вписана и касается стороны BC в точке N.
  2. Свойства касательных: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
  3. Из точки B: Отрезки касательных от B до точек касания равны. Пусть одна точка касания будет K на AB, тогда BK = BN = 7 см.
  4. Из точки C: Отрезки касательных от C до точек касания равны. Пусть одна точка касания будет L на AC, тогда CL = CN = 4 см.
  5. Из точки A: Отрезки касательных от A до точек касания равны. Пусть точка касания на AB будет K, а на AC — L. Тогда AK = AL.
  6. Стороны треугольника:
    • AB = AK + KB = AK + 7
    • AC = AL + LC = AL + 4
    • BC = BN + NC = 7 + 4 = 11 см
  7. Равнобедренный треугольник: Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC.
  8. Следовательно: AK + 7 = AL + 4. Поскольку AK = AL, это равенство выполняется.
  9. Нахождение периметра: Периметр P = AB + AC + BC.
  10. Так как AB = AC, то P = 2 * AB + BC.
  11. P = 2 * (AK + 7) + 11.
  12. Для равнобедренного треугольника AB = AC. Если BN=7 и NC=4, то BC=11.
  13. Так как AB = AC, то AC = AB.
  14. Из свойств касательных: отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
  15. Если точка касания BC — N, то BN=7, NC=4.
  16. Если точка касания AB — K, то BK = BN = 7.
  17. Если точка касания AC — L, то CL = CN = 4.
  18. Тогда AB = AK + KB = AK + 7.
  19. AC = AL + LC = AL + 4.
  20. Так как AB = AC, то AK + 7 = AL + 4.
  21. Следовательно, AK = AL.
  22. Тогда AB = AC = AK + 7 = AL + 4.
  23. BC = 11 см.
  24. Периметр P = AB + AC + BC = (AK + 7) + (AL + 4) + 11.
  25. Поскольку AK = AL, P = (AK + 7) + (AK + 4) + 11 = 2*AK + 22.
  26. Также, AB = AC, следовательно, AB = AC = AK + 7.
  27. BC = BN + NC = 7 + 4 = 11 см.
  28. Так как треугольник равнобедренный, AB = AC.
  29. Пусть точка касания на AB это K, на AC это L.
  30. BK = BN = 7 см.
  31. CN = CL = 4 см.
  32. AB = BK + AK = 7 + AK.
  33. AC = CL + AL = 4 + AL.
  34. Так как AB = AC, то 7 + AK = 4 + AL.
  35. AL - AK = 3.
  36. Но AL = AK (отрезки касательных из точки A).
  37. Это противоречие, если мы не учли, что N — это середина BC.
  38. Если треугольник равнобедренный ABC, и окружность касается BC в точке N, то N должна быть серединой BC, если AB=AC.
  39. Но BN=7 и NC=4, значит N не середина.
  40. Это возможно только если точка N не является точкой касания на стороне BC.
  41. В условии сказано: «касается стороны ВС в точке N».
  42. Если треугольник равнобедренный, то высота, проведенная к основанию, является и медианой, и биссектрисой.
  43. Если BC — основание, то AB=AC. Тогда высота из A на BC делит BC пополам.
  44. Если окружность вписана, центр окружности лежит на высоте.
  45. Точка касания на основании равнобедренного треугольника является серединой основания.
  46. Следовательно, BN должно быть равно NC.
  47. Но BN = 7 см, NC = 4 см.
  48. Это означает, что BC не является основанием, а боковой стороной.
  49. Пусть AC = BC. Тогда AB — основание.
  50. Тогда высота из C на AB делит AB пополам.
  51. Вписанная окружность касается AB в точке K, BC в точке N, AC в точке L.
  52. BN = 7, NC = 4.
  53. Значит BC = 7 + 4 = 11.
  54. Так как BC = AC, то AC = 11.
  55. Из точки C: CL = CN = 4.
  56. Из точки A: AL = AC - CL = 11 - 4 = 7.
  57. Из точки B: BN = 7.
  58. Так как AB — основание, AB = AK + KB.
  59. KB = BN = 7.
  60. AK = AL = 7.
  61. Тогда AB = AK + KB = 7 + 7 = 14.
  62. Проверим: AC = 11, BC = 11, AB = 14. Треугольник равнобедренный (AB - основание).
  63. Периметр P = AB + AC + BC = 14 + 11 + 11 = 36 см.
  64. Альтернативный случай: Пусть AB = BC (AB — основание).
  65. Тогда AC = AB.
  66. BN = 7, NC = 4, BC = 11.
  67. Значит AB = 11.
  68. AC = 11.
  69. Точка касания на BC — N. BN=7, NC=4.
  70. Из точки B: BK = BN = 7 (K на AB).
  71. Из точки C: CL = CN = 4 (L на AC).
  72. Из точки A: AK = AL.
  73. AB = AK + KB = AK + 7 = 11 => AK = 4.
  74. AC = AL + LC = AL + 4 = 11 => AL = 7.
  75. Но AK должно быть равно AL. 4 ≠ 7. Этот случай невозможен.
  76. Основной случай: AC = BC.
  77. BC = BN + NC = 7 + 4 = 11 см.
  78. Так как AC = BC, то AC = 11 см.
  79. Из свойств касательных:
  80. CN = CL = 4 см (отрезки касательных из точки C).
  81. BN = BK = 7 см (отрезки касательных из точки B).
  82. AL = AC - CL = 11 - 4 = 7 см.
  83. AK = AL = 7 см (отрезки касательных из точки A).
  84. AB = AK + KB = 7 + 7 = 14 см.
  85. Проверка: AB = 14, AC = 11, BC = 11. Треугольник равнобедренный (AC=BC).
  86. Периметр P = AB + AC + BC = 14 + 11 + 11 = 36 см.

    87. Ответ: 36 см

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю