6. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса СК. Найдите углы треугольника АВС, если угол АКС = 60°.

Дано:

• $$ riangle ABC$$ — равнобедренный с основанием $$AC$$.
• $$CK$$ — биссектриса.
• $$\angle AKC = 60^\circ$$.

Найти: углы $$ riangle ABC$$ (т.е. $$\angle A$$, $$\angle B$$, $$\angle C$$).

Решение:

Так как $$ riangle ABC$$ — равнобедренный с основанием $$AC$$, то:

• $$AB = BC$$.
• $$\angle BAC = \angle BCA$$.

Биссектриса $$CK$$ делит угол $$\angle BCA$$ пополам:

• $$\angle BCK = \angle KCA$$.

Рассмотрим $$ riangle AKC$$. Мы знаем один из его углов: $$\angle AKC = 60^\circ$$.

Угол $$\angle KAC$$ — это тот же угол, что и $$\angle BAC$$. Обозначим его как $$\alpha$$.

Угол $$\angle KCA$$ — это половина угла $$\angle BCA$$. Так как $$\angle BCA = \angle BAC = \alpha$$, то $$\angle KCA = \frac{\alpha}{2}$$.

Сумма углов в $$ riangle AKC$$ равна $$180^ extrm{о}$$:

$$\angle KAC + \angle AKC + \angle KCA = 180^ extrm{о}$$

$$\alpha + 60^ extrm{о} + \frac{\alpha}{2} = 180^ extrm{о}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{2\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = 180^ extrm{о} - 60^ extrm{о}$$

$$\frac{3\alpha}{2} = 120^ extrm{о}$$

$$\alpha = \frac{120^ extrm{о} \times 2}{3}$$

$$\alpha = 80^ extrm{о}$$

Итак, мы нашли:

• $$\angle BAC = \alpha = 80^ extrm{о}$$.
• $$\angle BCA = \alpha = 80^ extrm{о}$$.

Теперь найдем угол $$\angle B$$. Сумма углов в $$ riangle ABC$$ равна $$180^ extrm{о}$$:

$$\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^ extrm{о}$$

$$80^ extrm{о} + 80^ extrm{о} + \angle ABC = 180^ extrm{о}$$

$$160^ extrm{о} + \angle ABC = 180^ extrm{о}$$

$$\angle ABC = 180^ extrm{о} - 160^ extrm{о}$$

$$\angle ABC = 20^ extrm{о}$$

Ответ:

$$\angle A = 80^ extrm{о}$$

$$\angle B = 20^ extrm{о}$$

$$\angle C = 80^ extrm{о}$$