6. В прямоугольном треугольнике МОК из точки В гипотенузы МК проведен перпендикуляр BD к стороне МО. Найдите длину катета ОК, если BD = 6 см, МК = 21 см, ВК = 12 см.

Решение:

В прямоугольном треугольнике МОК гипотенуза МК = 21 см. Точка В лежит на гипотенузе МК, и ВК = 12 см. Следовательно, МВ = МК - ВК = 21 - 12 = 9 см.

BD — высота, проведенная к катету МО. BD = 6 см.

Из подобия треугольников MBD и MOK:

\( \frac{MB}{MO} = \frac{BD}{OK} = \frac{MD}{MK} \)

Подставляем известные значения:

\( \frac{9}{MO} = \frac{6}{OK} = \frac{MD}{21} \)

Из \( \frac{6}{OK} \) мы можем выразить OK:

\( OK = \frac{6 \cdot MO}{BD} = \frac{6 \cdot MO}{6} = MO \).

Это неверно, так как OK и MO — катеты, и они не обязательно равны.

Давайте рассмотрим другое подобие. В прямоугольном треугольнике МОК, BD — высота, проведенная к гипотенузе МК.

Из подобия треугольников \( \triangle MBD \sim \triangle MOK \):

\( \frac{MB}{MK} = \frac{BD}{OK} \)

\( \frac{9}{21} = \frac{6}{OK} \)

\( OK = \frac{21 \cdot 6}{9} \)

\( OK = \frac{7 \cdot 6}{3} \)

\( OK = 7 \cdot 2 \)

\( OK = 14 \) см.

Ответ: Длина катета ОК равна 14 см.