6. В классе 6 учеников, среди них два друга - Леша и Ваня. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того что Леша и Ваня окажутся в одной группе.

Решение:

Всего в классе 6 учеников. Их случайным образом разбивают на 2 равные группы, то есть по 3 человека в каждой группе.

Рассмотрим, как можно распределить учеников по группам. Пусть Леша окажется в первой группе. Тогда ему нужно будет выбрать еще 2 человека из оставшихся 5 учеников.

Общее количество способов выбрать 2 человек из 5 равно:

\[ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]

Это общее количество исходов, если Леша попал в первую группу.

Теперь найдем количество благоприятных исходов, когда Ваня окажется в той же группе, что и Леша. Если Леша находится в первой группе, то Ваня тоже должен быть в этой группе. Это значит, что оставшихся 2 места во второй группе должны занять не Ваня, а другие ученики. Но это не совсем верно.

Давайте переформулируем задачу. Пусть мы выбираем 3 учеников для первой группы из 6. Общее число способов выбрать 3 учеников из 6 равно:

\[ C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \]

Это общее число способов сформировать первую группу. Вторая группа формируется автоматически.

Теперь посчитаем благоприятные исходы, когда Леша и Ваня окажутся в одной группе. Это может произойти двумя способами:

1. Леша и Ваня оба в первой группе. В этом случае нужно выбрать еще 1 ученика из оставшихся 4 (6 - 2 = 4). Число способов: \( C_4^1 = 4 \).
2. Леша и Ваня оба во второй группе. Это значит, что в первой группе не будет ни Леши, ни Вани. Нужно выбрать 3 учеников из оставшихся 4. Число способов: \( C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4 \).

Суммарное число благоприятных исходов равно \( 4 + 4 = 8 \).

Вероятность того, что Леша и Ваня окажутся в одной группе, равна:

\[ P = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} \]

Альтернативное решение:

Посадим Лешу в любую группу. В этой группе осталось 2 свободных места.

В классе всего 5 учеников, кроме Леши.

Вероятность того, что Ваня окажется в той же группе, что и Леша, равна вероятности того, что Ваня займет одно из 2 оставшихся мест в этой группе.

Общее число мест, которые могут быть заняты Ваней (любые места, кроме места Леши) = 5.

Число мест в группе Леши, которые может занять Ваня = 2.

Следовательно, вероятность равна:

\[ P = \frac{2}{5} \]

Ответ: ⅖ (или 0.4).