6. В классе 18 учеников, из них 12 человек знают немецкий язык и 9 человек – французский язык. Сколько учеников знает оба этих языка? Решение: Ответ:

6. Задачи на множества (языки)

В классе всего 18 учеников.

Знают немецкий язык: 12 человек.

Знают французский язык: 9 человек.

Пусть $$N$$ - множество учеников, знающих немецкий язык, и $$F$$ - множество учеников, знающих французский язык.

Нам дано:

• $$|Total| = 18$$
• $$|N| = 12$$
• $$|F| = 9$$

Мы хотим найти количество учеников, которые знают оба языка, то есть $$|N \cap F|$$.

Воспользуемся формулой включения-исключения для двух множеств:

$$|N \cup F| = |N| + |F| - |N \cap F|$$

Здесь $$|N \cup F|$$ - количество учеников, знающих хотя бы один из языков.

В худшем случае (когда никто не знает оба языка), количество знающих хотя бы один язык было бы $$12 + 9 = 21$$. Но в классе всего 18 учеников. Это означает, что есть пересечение.

Все ученики в классе знают хотя бы один язык, потому что если бы кто-то не знал ни одного языка, то общее количество знающих хотя бы один язык было бы меньше 18. Но $$12 + 9 = 21 > 18$$.

Значит, $$|N \cup F| = 18$$ (предполагая, что каждый ученик знает хотя бы один язык, что следует из условия, если мы хотим найти пересечение, а не тех, кто не знает ни одного).

Подставим значения в формулу:

$$18 = 12 + 9 - |N \cap F|$$

$$18 = 21 - |N \cap F|$$

$$|N \cap F| = 21 - 18$$

$$|N \cap F| = 3$$

Решение:

1. Общее количество учеников: 18.

2. Количество знающих немецкий: 12.

3. Количество знающих французский: 9.

4. Пусть $$x$$ - количество учеников, знающих оба языка.

5. Количество знающих только немецкий: $$12 - x$$.

6. Количество знающих только французский: $$9 - x$$.

7. Общее количество учеников равно сумме тех, кто знает только немецкий, только французский, и обоих языков:

$$(12 - x) + (9 - x) + x = 18$$

$$12 + 9 - x = 18$$

$$21 - x = 18$$

$$x = 21 - 18$$

$$x = 3$$

Ответ: 3 ученика знают оба языка.