6. Упростите выражение: a) \(\(\frac{1}{16}\) a^4 (4ab^3)^3; б) (-3x^3y^4)^2 \(\cdot\) 0,2y^2.

Задание 6. Упрощение выражений

Привет! Давай упростим эти выражения по очереди.

а) \(\frac{1}{16} a^4 (4ab^3)^3\)

Чтобы упростить это выражение, нужно сначала раскрыть скобки, а потом перемножить всё вместе.

1. Возводим в куб выражение в скобках: \( (4ab^3)^3 \)
• Каждый множитель в скобках возводим в третью степень: \( 4^3 · (a)^3 · (b^3)^3 \).
• Считаем: \( 4^3 = 4 · 4 · 4 = 64 \).
• Степени с основанием 'a': \( (a)^3 = a^3 \).
• Степени с основанием 'b': \( (b^3)^3 = b^{3 · 3} = b^9 \).
• Получаем: \( 64a^3b^9 \).
2. Теперь подставляем обратно в исходное выражение: \( \frac{1}{16} a^4 · 64a^3b^9 \).
3. Перемножаем коэффициенты: \( \frac{1}{16} · 64 = \frac{64}{16} = 4 \).
4. Перемножаем степени с основанием 'a': \( a^4 · a^3 = a^{4+3} = a^7 \).
5. Степень с основанием 'b' остается без изменений: \( b^9 \).
6. Собираем всё вместе: \( 4a^7b^9 \).

Ответ: \( 4a^7b^9 \)

б) \( (-3x^3y^4)^2 · 0,2y^2 \)

Здесь тоже сначала раскроем скобки, а потом перемножим.

1. Возводим в квадрат выражение в скобках: \( (-3x^3y^4)^2 \)
• Каждый множитель в скобках возводим во вторую степень: \( (-3)^2 · (x^3)^2 · (y^4)^2 \).
• Считаем: \( (-3)^2 = (-3) · (-3) = 9 \).
• Степени с основанием 'x': \( (x^3)^2 = x^{3 · 2} = x^6 \).
• Степени с основанием 'y': \( (y^4)^2 = y^{4 · 2} = y^8 \).
• Получаем: \( 9x^6y^8 \).
2. Теперь подставляем обратно в исходное выражение: \( 9x^6y^8 · 0,2y^2 \).
3. Перемножаем коэффициенты: \( 9 · 0,2 \).
• Можно записать 0,2 как \( \frac{2}{10} \) или \( \frac{1}{5} \).
• \( 9 · 0,2 = 1,8 \) или \( 9 · \frac{1}{5} = \frac{9}{5} = 1,8 \).
4. Перемножаем степени с основанием 'y': \( y^8 · y^2 = y^{8+2} = y^{10} \).
5. Степень с основанием 'x' остается без изменений: \( x^6 \).
6. Собираем всё вместе: \( 1,8x^6y^{10} \).

Ответ: \( 1,8x^6y^{10} \)