6) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [7π/2; 5π].

Привет! Давай найдем корни нашего уравнения, которые попадают в заданный промежуток.

Мы уже выяснили, что корни уравнения \frac{16^{\sin 2x} - 64^{\sin x}}{\sqrt{\sin x}} = 0 удовлетворяют условию \cos x = \frac{3}{4} и \sin x
eq 0. Условие \sin x
eq 0 выполняется, когда \cos x = \pm 1, а у нас \cos x = \frac{3}{4}, значит, \sin x
eq 0 — условие выполнено.

Нам нужно найти значения  x такие, что:

\[ \cos x = \frac{3}{4} \]

и

\[ \frac{7\pi}{2} \le x \le 5\pi \]

1. Определим промежуток:

Запишем границы отрезка в виде десятичных дробей:

\[ \frac{7\pi}{2} = 3.5 \pi \]

\[ 5\pi = 5 \pi \]

Наш отрезок: [3.5 \pi; 5 \pi].

2. Найдем общие решения для \cos x = \frac{3}{4}:

Основные решения будут  x = \pm \arccos \left( \frac{3}{4} \right) + 2\pi k, где  k — целое число.

3. Проверим, какие из этих решений попадают в наш отрезок:

Обозначим  \alpha = \arccos \left( \frac{3}{4} \right) . Это угол в первой четверти (между 0 и  \pi/2), так как  \frac{3}{4} положительное.

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1:  x = \alpha + 2\pi k

Нам нужно, чтобы  3.5 \pi \le \alpha + 2\pi k \le 5 \pi .

Если  k = 1:  x = \alpha + 2\pi . Поскольку  0 < \alpha < \pi/2, то  2\pi < \alpha + 2\pi < 2.5\pi . Этот интервал не попадает в  [3.5 \pi, 5 \pi].

Если  k = 2:  x = \alpha + 4\pi . Тогда  4\pi < \alpha + 4\pi < 4.5\pi . Этот интервал попадает в  [3.5 \pi, 5 \pi], так как  3.5 \pi \le 4\pi < \alpha + 4\pi < 4.5\pi \le 5\pi.

Случай 2:  x = -\alpha + 2\pi k

Нам нужно, чтобы  3.5 \pi \le -\alpha + 2\pi k \le 5 \pi .

Если  k = 1:  x = -\alpha + 2\pi . Поскольку  -\pi/2 < -\alpha < 0, то  1.5 \pi < -\alpha + 2\pi < 2\pi . Этот интервал не попадает в  [3.5 \pi, 5 \pi].

Если  k = 2:  x = -\alpha + 4\pi . Тогда  3.5 \pi < -\alpha + 4\pi < 4\pi . Этот интервал попадает в  [3.5 \pi, 5 \pi], так как  3.5 \pi < -\alpha + 4\pi < 4\pi \le 5\pi.

Если  k = 3:  x = -\alpha + 6\pi . Тогда  5.5 \pi < -\alpha + 6\pi < 6\pi . Этот интервал не попадает в  [3.5 \pi, 5 \pi].

4. Формулируем ответ:

Корни, принадлежащие отрезку  [7\pi/2; 5\pi], это:

\[ x_1 = 4\pi - \arccos \left( \frac{3}{4} \right) \]

\[ x_2 = 4\pi + \arccos \left( \frac{3}{4} \right) \]

Ответ:  4\pi - \arccos \left( \frac{3}{4} \right), 4\pi + \arccos \left( \frac{3}{4} \right)