6) \(\sqrt{2x} + 3y = 6, 3x + 5y = 8\)

Решение:

Решим систему уравнений методом подстановки.

1. Из второго уравнения выразим \( x \): \( 3x = 8 - 5y \) \( x = \frac{8 - 5y}{3} \).
2. Подставим \( x \) в первое уравнение: \( \sqrt{2 \frac{8 - 5y}{3}} + 3y = 6 \).
3. Выразим корень: \( \sqrt{\frac{16 - 10y}{3}} = 6 - 3y \).
4. Возведём обе части в квадрат (при условии \( 6 - 3y \ge 0 \), т.е. \( 3y \le 6 \), \( y \le 2 \)): \( \frac{16 - 10y}{3} = (6 - 3y)^2 \)
   
5. Умножим на 3: \( 16 - 10y = 108 - 108y + 27y^2 \).
6. Приведём к квадратному уравнению: \( 27y^2 - 108y + 10y + 108 - 16 = 0 \)
   
7. Найдём дискриминант: \( D = (-98)^2 - 4 · 27 · 92 = 9604 - 9936 = -332 \).
8. Так как \( D < 0 \), действительных корней для \( y \) нет.

Ответ: Система не имеет решений.