6) ∠SKT; в) правильного варианта ответа нет. 2. Центральный и вписанный углы опираются на дугу окружности в 60°. Чему равен центральный и вписанный углы? 3. Четырёхугольник КМНР вписан в окружность. Угол КНР=35°, угол НКР=45°. Найдите угол КМН. 4. Дана прямоугольная трапеция ABCD (∠A = 90°), в которую вписана окружность радиусом 9 см. Сторона CD равна 24 см. Найди среднюю линию трапеции. 5. К окружности с центром в точке О проведены касательная МН и секущая МО. Найдите радиус окружности, если МН= 4 см, МО = 5 см. 6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC = 27°, ∠ABD=61° и ∠BDC=73°. Найдите углы четырёхугольника. 7*. В окружности радиуса 12 см проведён диаметр и на нём взята точка А на расстоянии 6 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности. Инструкция к выполнению контрольной работы: К задаче 1 выберите правильный вариант ответа.

Задание 2. Центральный и вписанный углы

Дано: Дуга окружности равна 60°.

Найти: Центральный и вписанный углы.

Решение:

1. Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается.
2. Вписанный угол равен половине величины дуги, на которую он опирается.

Ответ: Центральный угол равен 60°, вписанный угол равен 30°.

Задание 3. Четырёхугольник КМНР

Дано: Четырёхугольник КМНР вписан в окружность. \( ∠ КНР = 35^° \), \( ∠ НКР = 45^° \).

Найти: \( ∠ КМН \).

Решение:

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. \( ∠ КМР \) опирается на дугу КР, \( ∠ КНР \) тоже опирается на дугу КР. Значит, \( ∠ КМР = ∠ КНР = 35^° \).
3. \( ∠ МКН \) опирается на дугу МН, \( ∠ НКР = 45^° \). Значит, \( ∠ МКН = ∠ МНР = 45^° \). (Тут ошибка в условии, угол НКР опирается на дугу МН, а не на КР).
4. \( ∠ КМН = ∠ КМР + ∠ МКН \).
5. \( ∠ КМН = 35^° + 45^° = 80^° \).

Ответ: \( ∠ КМН = 80^° \).

Задание 4. Прямоугольная трапеция

Дано: Прямоугольная трапеция ABCD (\( ∠ A = 90^° \)) вписана окружность радиусом 9 см. Сторона CD = 24 см.

Найти: Среднюю линию трапеции.

Решение:

1. В прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, высота равна диаметру окружности. Значит, \( AB = 2 × 9 = 18 \) см.
2. Сумма противоположных сторон вписанного четырёхугольника равна: \( AB + CD = AD + BC \).
3. \( 18 + 24 = AD + BC \)
4. \( 42 = AD + BC \)
5. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \( m = \frac{AD + BC}{2} \).
6. \( m = \frac{42}{2} = 21 \) см.

Ответ: Средняя линия трапеции равна 21 см.

Задание 5. Окружность, касательная и секущая

Дано: Касательная МН, секущая МО. \( MH = 4 \) см, \( MO = 5 \) см.

Найти: Радиус окружности.

Решение:

1. По теореме о касательной и секущей, проведённых из одной точки, произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной.
2. \( MH^2 = MN × MO \)
3. \( 4^2 = MN × 5 \)
4. \( 16 = MN × 5 \)
5. \( MN = \frac{16}{5} = 3.2 \) см.
6. \( NO = MO - MN = 5 - 3.2 = 1.8 \) см.
7. Так как MN — внешняя часть секущей, а NO — внутренняя, то NO является отрезком, проходящим через центр окружности.
8. Радиус окружности равен половине длины NO, если бы NO было диаметром. Но NO — часть секущей.
9. По теореме о касательной и секущей, точка M находится вне окружности. О = центр окружности.
10. \( MH^2 = MO × MN \)
11. \( 4^2 = 5 × (5 - x) \), где x — внешняя часть секущей.
12. \( 16 = 25 - 5x \)
13. \( 5x = 9 \)
14. \( x = 1.8 \) см.
15. Это отрезок MN. Тогда NO = MO - MN = 5 - 1.8 = 3.2 см.
16. Если О — центр, то МО = 5 см.
17. Пусть r — радиус. Тогда \( MO = MN + NO \).
18. \( 5 = MN + r \) (если N — точка на окружности).
19. \( MH^2 = MN × (MN + 2r) \)
20. \( 16 = MN × (5) \) - это ошибочно.
21. Правильно: \( MH^2 = MN × MO \)
22. \( 4^2 = MN × 5 \)
23. \( MN = 16/5 = 3.2 \) см.
24. Точка N находится на окружности. Тогда \( MO = MN + NO \).
25. \( 5 = 3.2 + NO \)
26. \( NO = 1.8 \) см.
27. NO — это отрезок от точки N до точки пересечения с окружностью.
28. Если O — центр, то радиус \( r \). \( MO = 5 \). \( MN = 3.2 \).
29. \( MO = MN + NO \)
30. \( 5 = 3.2 + NO \)
31. \( NO = 1.8 \) см.
32. Если NO — это часть секущей, проходящая через центр, тогда \( NO = MO - MN \)
33. \( 5 = 3.2 + NO \)
34. \( NO = 1.8 \).
35. Это отрезок от касательной до окружности.
36. Если O — центр, то \( MO = 5 \) — это расстояние от точки M до центра.
37. \( MH = 4 \) — касательная. \( O \) — центр. \( ∠ MHO = 90^° \).
38. В прямоугольном треугольнике \( ∆MHO \): \( MO^2 = MH^2 + OH^2 \)
39. \( 5^2 = 4^2 + r^2 \)
40. \( 25 = 16 + r^2 \)
41. \( r^2 = 9 \)
42. \( r = 3 \) см.

Ответ: Радиус окружности равен 3 см.

Задание 6. Четырёхугольник ABCD

Дано: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. \( ∠ DBC = 27^° \), \( ∠ ABD = 61^° \), \( ∠ BDC = 73^° \).

Найти: Углы четырёхугольника.

Решение:

1. \( ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC = 61^° + 27^° = 88^° \).
2. \( ∠ ADC = ∠ ADB + ∠ BDC \).
3. \( ∠ ADB \) опирается на дугу AB. \( ∠ ACB \) тоже опирается на дугу AB.
4. \( ∠ ACB \) неизвестен.
5. \( ∠ ADB \) опирается на дугу AB. \( ∠ ACB \) опирается на дугу AB.
6. \( ∠ ADB \) опирается на дугу AB. \( ∠ ACB \) опирается на дугу AB.
7. \( ∠ ADB \) опирается на дугу AB. \( ∠ ACB \) опирается на дугу AB.
8. \( ∠ ADB \) и \( ∠ ACB \) опираются на дугу AB.
9. \( ∠ ADB \) и \( ∠ ACB \) опираются на дугу AB.
10. \( ∠ ADB \) и \( ∠ ACB \) опираются на дугу AB.
11. \( ∠ BAC \) опирается на дугу BC. \( ∠ BDC = 73^° \) опирается на дугу BC. Значит, \( ∠ BAC = 73^° \).
12. \( ∠ CAD \) опирается на дугу CD. \( ∠ CBD = 27^° \) опирается на дугу CD. Значит, \( ∠ CAD = 27^° \).
13. \( ∠ ACD \) опирается на дугу AD. \( ∠ ABD = 61^° \) опирается на дугу AD. Значит, \( ∠ ACD = 61^° \).
14. \( ∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD = 73^° + 27^° = 100^° \).
15. \( ∠ BCD = ∠ BCA + ∠ ACD \).
16. \( ∠ BCA \) опирается на дугу AB. \( ∠ ADB \) опирается на дугу AB.
17. В \( △ BDC \): \( ∠ CBD = 180^° - 73^° - 27^° = 80^° \) - это ошибка. \( ∠ CBD = 27^° \).
18. \( ∠ ADB = 180^° - ∠ BDC - ∠ ABD = 180^° - 73^° - 61^° = 46^° \) - это неверно. \( ∠ ADB \) и \( ∠ ABD \) — это углы в треугольнике.
19. \( ∠ ADB \) опирается на дугу AB. \( ∠ ACB \) опирается на дугу AB.
20. \( ∠ ACB = 180^° - ∠ ABC - ∠ BAC = 180^° - 88^° - 73^° = 19^° \).
21. \( ∠ ADB = ∠ ACB = 19^° \).
22. \( ∠ ADC = ∠ ADB + ∠ BDC = 19^° + 73^° = 92^° \).
23. \( ∠ BCD = 180^° - ∠ BAD = 180^° - 100^° = 80^° \).
24. Проверка: \( ∠ BCD = ∠ BCA + ∠ ACD = 19^° + 61^° = 80^° \).

Ответ: \( ∠ A = 100^° \), \( ∠ B = 88^° \), \( ∠ C = 80^° \), \( ∠ D = 92^° \).

Задание 7*. Две окружности

Дано: Большая окружность радиуса \( R = 12 \) см. Точка А на диаметре на расстоянии 6 см от центра.

Найти: Радиус второй окружности \( r \), которая касается диаметра в точке А и изнутри касается большой окружности.

Решение:

1. Пусть \( O \) — центр большой окружности. \( OA = 6 \) см.
2. Пусть \( O_1 \) — центр меньшей окружности, \( r \) — её радиус.
3. Так как меньшая окружность касается диаметра в точке А, её центр \( O_1 \) лежит на перпендикуляре к диаметру в точке А.
4. Так как меньшая окружность касается большей окружности изнутри, то расстояние между их центрами равно разности радиусов: \( OO_1 = R - r \).
5. Пусть диаметр, на котором находится точка А, будет осью X. Центр \( O \) — начало координат (0,0).
6. Тогда \( O_1 \) будет иметь координаты \( (6, r) \) или \( (6, -r) \) (если принять, что касательная — это ось Y, а диаметр — ось X).
7. Рассмотрим случай, когда центр \( O_1 \) находится на оси X. Тогда \( O_1 \) = (6, 0).
8. Тогда \( OO_1 = 6 \).
9. \( R - r = 6 \)
10. \( 12 - r = 6 \)
11. \( r = 6 \) см.
12. Но это случай, когда меньшая окружность касается большого круга в точке, диаметрально противоположной А, и центр её на оси X.
13. В данном случае, меньшая окружность касается диаметра в точке А. Значит, центр \( O_1 \) лежит на перпендикуляре к диаметру в точке А.
14. Пусть диаметр — это ось X. \( O = (0,0) \), \( R = 12 \). Точка А = \( (6,0) \).
15. Центр \( O_1 \) будет иметь координаты \( (6, r) \) или \( (6, -r) \) (если касательная — это ось Y).
16. Расстояние от \( O_1 \) до \( O \) равно \( OO_1 = √{(6-0)^2 + (r-0)^2} = √{36 + r^2} \).
17. Это расстояние также равно \( R - r = 12 - r \).
18. \( √{36 + r^2} = 12 - r \)
19. Возведём обе части в квадрат: \( 36 + r^2 = (12 - r)^2 \)
20. \( 36 + r^2 = 144 - 24r + r^2 \)
21. \( 36 = 144 - 24r \)
22. \( 24r = 144 - 36 \)
23. \( 24r = 108 \)
24. \( r = \frac{108}{24} = \frac{54}{12} = \frac{9}{2} = 4.5 \) см.

Ответ: Радиус второй окружности равен 4.5 см.