6. Рис. 7.151. Найти: AC.

Дано:

• Треугольник ABC
• ℕA = 15°
• AL — биссектриса ℕBAC
• ℕALC = 90°
• AC = 20

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ALC, ℕCAL = 15° и ℕALC = 90°.
2. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, ℕACL = 180° - 90° - 15° = 75°.
3. Так как AL — биссектриса ℕBAC, то ℕBAL = ℕLAC = 15°.
4. Следовательно, ℕBAC = ℕBAL + ℕLAC = 15° + 15° = 30°.
5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (поскольку ℕALC = 90°, а L лежит на BC, то ℕACB = 90°).
6. В прямоугольном треугольнике ABC, ℕBAC = 30°.
7. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
8. В данном случае, BC — катет, противолежащий углу ℕBAC. AC — гипотенуза.
9. Ой, извините, на рисунке 7.151, AC - это не гипотенуза, а катет, а BC - это второй катет, а AB - это гипотенуза.
10. В прямоугольном треугольнике ABC, ℕBAC = 30°, ℕACB = 90°.
11. Катет BC лежит против угла 30°. Следовательно, BC = AB/2.
12. Катет AC лежит против угла ABC.
13. ℕABC = 180° - 90° - 30° = 60°.
14. Из рисунка 7.150, мы видим, что BC = 2.
15. В прямоугольном треугольнике ABC, по теореме Пифагора: AB² = AC² + BC².
16. Также, зная ℕBAC = 30°, мы можем использовать тригонометрию.
17. \[ \sin(30°) = \frac{BC}{AB} \]
18. \[ \frac{1}{2} = \frac{2}{AB} \]
19. \[ AB = 4 \]
20. Теперь найдем AC:
21. \[ \tan(30°) = \frac{BC}{AC} \]
22. \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{AC} \]
23. \[ AC = 2\sqrt{3} \]
24. Или, используя теорему Пифагора:
25. \[ 4^2 = AC^2 + 2^2 \]
26. \[ 16 = AC^2 + 4 \]
27. \[ AC^2 = 12 \]
28. \[ AC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

Ответ: AC = 2√3