6. Решите задачу. Введите ответы в предложенные ниже поля. В каждое окно впишите только число без пробелов. В треугольник MNK вписана окружность с центром в точке О. Окружность касается стороны MN в точке А, стороны NK в точке В и стороны MK в точке С. Вычислите неизвестные углы, если ∠OMN = 39° и ∠KNO = 20°.

Дано:

• Треугольник MNK.
• Вписанная окружность с центром O.
• Точки касания: A на MN, B на NK, C на MK.
• ∠ OMN = 39°
• ∠ KNO = 20°

Найти:

• ∠ COA
• ∠ AOB
• ∠ BOC

Решение:

1. О свойствах касательных:

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

• MA = MC
• NA = NB
• KB = BC

2. О центральных углах:

Центральный угол, опирающийся на дугу, равен половине величины дуги.

3. Угол ∠MON:

В треугольнике OAM, OA = OM (радиусы), значит, треугольник равнобедренный.

∠ OAM = 90° (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

∠ MOA = 180° - 90° - ∠ OMN = 180° - 90° - 39° = 51°.

Аналогично, в треугольнике OAN:

∠ OAN = 90°.

∠ NOA = 180° - 90° - ∠ ONM = 180° - 90° - 39° = 51°.

∠ MON = ∠ MOA + ∠ NOA = 51° + 51° = 102°.

4. Угол ∠KON:

Аналогично, в треугольнике OKM:

∠ OCK = 90°.

∠ KOC = 180° - 90° - ∠ OKM (неизвестен).

В треугольнике OKN:

∠ ONB = 90°.

∠ KNO = 20°.

∠ KON = 180° - 90° - 20° = 70°.

5. Углы треугольника MNK:

Рассмотрим треугольник MNK. Сумма углов равна 180°.

∠ MNK + ∠ NKM + ∠ KMN = 180°.

∠ KMN = 39°.

В треугольнике MON, OA - биссектриса ∠ MON (по свойству равнобедренного треугольника, высота и медиана совпадают с биссектрисой).

∠ MON = 102°.

∠ MNO = 39°.

∠ KMO = ∠ KMN - ∠ OMN = ∠ KMN - 39°.

∠ MKO = ∠ MKN - ∠ OKN = ∠ MKN - 20°.

Углы при основании равнобедренной трапеции MANK (поскольку MA=MC, NA=NB, MC=CK, NB=BK, то MA=NB=BK=KC=CM=NA) равны.

∠ KMN = ∠ MKN = 39°.

∠ MNK = 180° - 39° - 39° = 180° - 78° = 102°.

6. Углы ∠COA, ∠AOB, ∠BOC:

∠ COA = ∠ COM + ∠ COA

В треугольнике OMA: ∠ OMA = 39°. OA = OM (радиусы). ∠ OAM = 90°. ∠ MOA = 180° - 90° - 39° = 51°.

В треугольнике OMC: OC = OM (радиусы). ∠ OCM = 90°. ∠ MOC = 180° - 90° - ∠ OMC (у нас нет ∠ OMC, но мы знаем ∠ KMN = 39°).

Рассмотрим ∠ MON. OA и OC - отрезки, соединяющие центр с точками касания. OA ⊥ MN, OC ⊥ MK.

∠ MON = 102° (найдено ранее).

∠ MON = ∠ MOA + ∠ AON = 51° + 51° = 102°.

∠ KOC = 180° - ∠ MOC.

∠ KOC = 180° - (∠ MON + ∠ NOK - ∠ MOK).

Упрощенный подход:

Угол между двумя касательными равен полуразности дуг, высекаемых этими касательными. Угол между радиусами, проведенными в точки касания, равен 180° минус угол треугольника при этой вершине.

∠ MON = 180° - ∠ MNK = 180° - 102° = 78°. (Это неверно, т.к. MON = 102)

∠ MON = 180 - ∠ MNK, если MNK - угол при вершине, а O - центр окружности, вписанной в MNK. Это не так.

Правильный подход:

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой.

∠ OMN = 39°. OA ⊥ MN.

В прямоугольном треугольнике OAM: ∠ MOA = 90° - 39° = 51°.

∠ KNO = 20°. OB ⊥ NK.

В прямоугольном треугольнике OBN: ∠ NOB = 90° - 20° = 70°.

∠ M NK = 180° - (∠ OMN + ∠ ONM). Нам не известен ∠ ONM.

Углы треугольника MNK:

∠ KMN = 39°.

∠ K = ?

∠ N = ?

Введем обозначения:

∠ KMN = α = 39°

∠ KNO = β = 20°

∠ K = γ

∠ N = δ

∠ M = ε

Сумма углов треугольника: α + β + γ = 180°. (неверно)

Сумма углов треугольника MNK: ∠ M + ∠ N + ∠ K = 180°.

Свойства биссектрис и углов при центре вписанной окружности:

∠ MON = 180° - ∠ MNK / 2 (Это для центра описанной окружности).

Центральные углы:

∠ MOA = 90° - ∠ OMN = 90° - 39° = 51°.

∠ NOB = 90° - ∠ ONM. (Нужен ∠ ONM).

∠ KOC = 90° - ∠ OMK.

∠ MOA = 51°.

∠ NOA = 51°.

∠ MON = 102°.

∠ KON = 70°.

∠ MOK = ?

∠ MON + ∠ NOK + ∠ MOK = 360° (если O - точка пересечения).

Углы треугольника MNK:

∠ KMN = 39°.

∠ KNO = 20°.

∠ MNO = ?

∠ MKN = ?

∠ NMK = 39°.

Сумма углов треугольника MNK = 180°.

∠ KMN + ∠ MNK + ∠ NKM = 180°.

∠ KMN = 39°.

Углы, образованные радиусами к точкам касания:

∠ COA = 180° - ∠ M = 180° - ∠ KMN = 180° - 39° = 141° (неверно).

∠ COA = 180° - ∠ CKA (неверно).

Правила:

1. Угол между радиусами, проведенными к точкам касания сторон угла треугольника, равен 180° минус половина этого угла.

∠ COA = 180° - ∠ M / 2 (неверно).

2. Угол, образованный двумя радиусами, проведенными к точкам касания, равен 180° минус соответствующий угол треугольника.

∠ COA = 180° - ∠ M = 180° - 39° = 141°.

∠ AOB = 180° - ∠ N.

∠ BOC = 180° - ∠ K.

Найдем углы треугольника MNK:

∠ M = 39°.

∠ KNO = 20°. В треугольнике KBN, NB = BK (касательные). ∠ BKN = ∠ BNK = ∠ K.

В треугольнике MNK:

∠ M = 39°.

∠ N = ∠ MNO + ∠ ONK. (неверно)

∠ N = ∠ MNK.

∠ K = ∠ NKM.

Известно:

∠ OMN = 39°. Так как O - центр вписанной окружности, то MO - биссектриса ∠ KMN. Следовательно, ∠ KMN = 2 * ∠ OMN = 2 * 39° = 78°.

∠ KNO = 20°. Так как O - центр вписанной окружности, то KO - биссектриса ∠ NKM. Следовательно, ∠ NKM = 2 * ∠ KNO = 2 * 20° = 40°.

Теперь найдем ∠ MNK:

∠ MNK = 180° - (∠ KMN + ∠ NKM) = 180° - (78° + 40°) = 180° - 118° = 62°.

Теперь найдем искомые углы:

∠ COA = 180° - ∠ KMN = 180° - 78° = 102°. (Неверно)

Угол между двумя радиусами, проведенными к точкам касания, равен 180° минус соответствующий угол треугольника.

∠ COA = 180° - ∠ KMN = 180° - 78° = 102°.

∠ AOB = 180° - ∠ MNK = 180° - 62° = 118°.

∠ BOC = 180° - ∠ NKM = 180° - 40° = 140°.

Проверка: Сумма углов вокруг точки O должна быть 360°.

∠ COA + ∠ AOB + ∠ BOC = 102° + 118° + 140° = 360°.

Ответ:

• ∠ COA = 102
• ∠ AOB = 118
• ∠ BOC = 140